Відкрити головне меню

Алгоритм Рабіна-Карпа — алгоритм пошуку рядка запропонований Рабіном і Карпом[1]. Алгоритм показує високу продуктивність на практиці, а також дозволяє узагальнення на інші споріднені задачі.

Алгоритм Рабіна — Карпа
Клас Пошук рядка
Найгірша швидкодія O(nm)
Найкраща швидкодія O(n+m)
Середня швидкодія O(n+m)
Просторова складність у найгіршому випадку O(p)

Ідея алгоритму полягає в заміні текстових рядків числами, порівняння яких можна виконувати значно швидше.

Ідея алгоритмуРедагувати

Для простоти припустимо, що алфавіт складається з десяткових цифр Σ = {0,1,…,9}. (В загальному випадку можна припустити, що кожний символ — це цифра в системі числення з основою d, де d = |Σ|.) Після цього, рядок з k символів, можна розглядати як число довжини k. Тобто символьний рядок «12345» відповідає числу 12345.

Для заданого зразка P[1..m] позначимо через p відповідне йому десяткове значення. Аналогічно, для заданого тексту T[1..n] позначимо через   десяткове значення підрядка T[s+1..s+m] довжини m при s = 0,1,…,n-m. Очевидно, що   тоді і тільки тоді, коли T[s+1..s+m]=P[1..m]; таким чином, s — допустимий зсув тоді і тільки тоді, коли  .

Якщо значення p можна обчислити за Θ(m) а значення   за сумарний час Θ(n-m+1), то усі допустимі зсуви можна було б знайти за час Θ(m) + Θ(n-m+1) = Θ(n) шляхом порівняння p з кожним з можливих  . (Покищо до уваги не береться той факт, що величини p і   можуть виявитись дуже великими.)

З допомогою схеми Горнера величину p можна обчислити за час Θ(m):

 

Значення   можна обчислити з масиву T[1..n] аналогічним способом за час Θ(m). В той же час, знаючи величину   величину   можна обчислити за фіксований час:

     (1)

Наприклад, якщо m = 5 і  , то потрібно видалити цифру у старшому розряді T[s+1] = 3 і додати цифру у молодший розряд (припустимо, T[s+5+1]=2). В результаті отримуємо  .

Отже, всі   можна обчислити за час Θ(n).

В цій процедурі пошуку наявна складність, пов'язана з тим, що значення p і   можуть виявитись занадто великими і з ними буде незручно працювати. Якщо зразок P складається з m цифр, то припущення про те, що арифметичні операції з числом p (до якого входить m цифр) займають «фіксований час», не відповідає дійсності. Ця проблема має просте вирішення: обчислення значень p і   за модулем деякого числа q. Оскільки обчислення проводяться рекурентно, то знаходження p можна виконати за Θ(m) а всіх   відповідно за Θ(n). Значення q звичайно обирають таким, щоб величина dq не перевищувала максимальну величину комп'ютерного слова.

Тоді, співвідношення (1) приймає вигляд:

     (2)

де   — значення, що приймає цифра «1» поставлена в старший розряд m-значного текстового рядка.

Робота по модулю q має свої недоліки, оскільки з   не випливає, що  . З іншого боку, якщо  , то обов'язково виконується співвідношення   і можна зробити висновок, що зсув s неприпустимий. Таким чином, співвідношення   можна використовувати як швидкий евристичний тест, що дозволяє виключити із розгляду деякі неприпустимі зсуви. Усі зсуви, для яких співвідношення виконується, треба додатково перевірити. Якщо q достатньо велике, то можна сподіватися, що хибні зсуви будуть зустрічатися досить рідко і час додаткової перевірки буде малим.

Опис алгоритмуРедагувати

Алгоритм полягає в наступному:

  1. обчислити число p;
  2. обчислити всі  ;
  3. Для тих s для яких  , виконати перевірку P[1..m] = T[s+1..s+m].

Псевдокод алгоритмуРедагувати

 
 1  
 2  
 3  
 4  
 5  
 6 for   to   //Попередня обробка
 7     do  
 8         
 9 for   to   //Перевірка
10     do if  
11           then if  
12                   then print «Зразок знайдено зі зсувом» s
13        if  
14           then  

АналізРедагувати

У процедурі Rabin_Karp_Matcher на попередню обробку витрачається час   а час пошуку у найгіршому випадку дорівнює   Однак, в багатьох практичних задачах очікувана кількість допустимих зсувів є невеликою, тоді час роботи алгоритму коли знайдено c зсувів є   плюс час необхідний для перевірки хибних збігів. Ми можемо побудувати евристичний аналіз на припущені, що взяття значень по модулю q діє як випадкове відображення з множини усіх допустимих рядків   у   Тоді ми можемо очікувати, що кількість помилкових збігів є   оскільки ми можемо оцінити шанс того, що будь-який   буде тотожним   по модулю   як  

ЗноскиРедагувати

  1. Richard M. Karp and Michael O. Rabin. Efficient Randomized Pattern-Matching Algorithms. Technical Report TR-31-81, Aiken Computation Laboratory, Havard University, 1981.

ДжерелаРедагувати

  • Karp and Rabin's original paper: Karp, Richard M.; Rabin, Michael O. (March 1987). «Efficient randomized pattern-matching algorithms». IBM Journal of Research and Development 31 (2), 249-260.
  • Thimas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms (2nd ed.) The MIT Press. ISBN 0-07-013151-1

Дивіться такожРедагувати