Аксіома порожньої множини

Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин

$\exists a\forall b\ (b\notin a)$

Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною, але не є своїм елементом.

Інші формулювання аксіоми порожньої множини

$\neg \ (\forall a\exists b\ (b\in a))$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)$, що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\neq b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\in b)$, що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\in b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow a\in b)$, що є $~\exists a\ (a=\{b:\ a\in b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\not \subset b)$, що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\not \subset b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)$, що є $~\exists a\ (a=\{b:\ b\subsetneq b\})$

$~\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])$, що є $\exists a\ (a=\{b:\ \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})$

$~\cdots$

Примітки

1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:

• $~\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )$,
• $~\forall b\ (b=b)$,
• $~\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)$.

Крім того, аксіому порожньої множини можна вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:

• $~\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$

2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:

$~\exists !a\forall b\ (b\notin a)$, що є $~\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)$

Єдиність порожньої множини не суперечить «нескінченній множині» описів порожньої множини, включаючи наступні описи:

• $~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\}$,
• $~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\}$,
• $~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\}$,
• $~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}$.
• $~\varnothing =\{b:b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\}$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин
• Порожня множина