Числовий ряд

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай $\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ — деяка числова послідовність. Для кожного $n\in \mathbb {N}$ визначена скінченна сума

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}.$

Дві числові послідовності $\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ та $\{S_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ називаються числовим рядом і позначаються

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

Число $\ a_{n}$ називається n-тим членом, а число $\ S_{n}$ — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум $\ \{S_{n}\}$ збігається до деякого числа $\ S$ (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число $\ S$ — називається сумою цього ряду, і позначається

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Теореми

Теорема 01. Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Дійсно, оскільки $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, $n\geqslant 2$ та $S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R}$, $n\rightarrow \infty$, то $a_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теорема 02. Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Приклад 01. Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$,    (2)
$1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots$    (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_{n}=1\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ у випадку ряду (1) та $a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Геометричний ряд для $x\in \mathbb {R}$ має вигляд

$1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots$.    (4)

Його часткова сума

$S_{n}={\begin{cases}n,&x=1;\\{\frac {1-x^{n}}{1-x}},&x\neq 1\end{cases}}$

для $n\geqslant 1$.

$\vartriangleright$ Якщо $|x|<1$ то $x^{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$. Тобто, при $|x|<1$ ряд (4) збігається до суми ${\frac {1}{1-x}}$:

$1+x+x_{2}+\cdots +x_{n}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}$, $|x|<1$.

При $|x|\geqslant 1$ послідовність $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ скінченної границі не має, отже при $|x|\geqslant 1$ ряд (4) розбігається. $\vartriangleleft$

Приклад 03. Доведемо, що

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+\cdots =1$

$\vartriangleright$ Дійсно, для $n\geqslant 1$

$S_{n}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}=(1-{\frac {1}{2}})+({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}})+({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}})+\cdots +({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}})=1-{\frac {1}{n+1}}$.

Отже, $S_{n}\rightarrow 1$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Приклад 04. Гармонічний ряд має вигляд

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots$

$\vartriangleright$ Доведемо, що цей ряд розбігається. Використовуючи теорему 02, при $n\geqslant 1$ матимемо

$S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\geqslant n{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$.

Таким чином, $S_{2n}-S_{n}\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$. Оскільки послідовність $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ зростає та не має границі, то $S_{n}\rightarrow +\infty$, $n\rightarrow \infty$. Проте зростання $S_{}$ із зростанням $n$ відбувається дуже повільно. Л. Ейлер підрахував, що $S_{1000000}\approx 14$. Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при $n\rightarrow \infty$, тобто необхідна умова збіжності виконується. $\vartriangleleft$

Властивості збіжних рядів

1. Нехай ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається до суми $S$. Тоді для будь-якого $c\in \mathbb {R}$ ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }(ca_{n})$

теж збігається і має суму $cS$, тобто

$\sum _{n=1}^{\infty }(ca_{n})=c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

$\vartriangleright$ Доведення випливає з означень. $\vartriangleleft$

2. Нехай ряди

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}'$ та $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}''$

збігаються до сум $S'$ та $S''$ відповідно. Тоді ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}'+a_{n}'')$

збігається до суми $S'+S''$, тобто

$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}'+a_{n}'')=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}'+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}''$.

Означення. Для ряду

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots$    (1)

та числа $m\in \mathbb {N}$ ряд

$a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n}+\cdots$    (2)

називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то $r_{m}$ — сума залишку.

3. Якщо ряд (1) збігається до суми $S$, то збігається будь-який його залишок, причому

$\forall m\in \mathbb {N} \colon S=S_{m}+r_{m}$.

Якщо для деякого $n\in \mathbb {N}$ збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.

4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

$\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n\geqslant N\;\forall p\in \mathbb {N} \colon \;$ $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$.

$\vartriangleright$ Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$. $\vartriangleleft$

Дивись також

• Ознаки збіжності
• Ряд (математика)

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
• Ряди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 496. — 594 с.