Центр Шпікера

Центр Шпікера — чудова точка трикутника, яка визначається як центр мас периметра трикутника; тобто центр ваги однорідного дроту, який проходить по периметру трикутника .

Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника

Точку названо на честь німецького геометра XIX століття Теодора Шпікера. В Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга вказана як X(10).

Властивості

Центр Шпікера (S) трикутника є центром перетину кліверів (позначені синіми лініями).

Центр Шпікера $S$ — радикальний центр трьох зовнівписаних кіл $\triangle ABC$. Зеленим кольором позначено радикальні осі відповідних пар кіл; вони перпендикулярні до ліній центрів.

• Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника . Тобто центр Шпікера $\triangle ABC$ є центром кола, вписаного в серединний трикутник $\triangle ABC$ (в його додатковий трикутник). Це коло називають колом Шпікера.

• Центр Шпікера є центром кліверів трикутника $\triangle ABC$. Тобто всі три клівери трикутника перетинаються в одній точці — в центрі Шпікера $S$. (Клівер трикутника — це відрізок, одна вершина якого міститься в середині однієї зі сторін трикутника, друга вершина міститься на одній з двох інших сторін, при цьому клівер розбиває периметр навпіл.)

• Центр Шпікера, інцентр ($I$), центроїд($G$) і точка Наґеля ($M$) Трикутника лежать на одній прямій — на другий прямій Ейлера (прямій Ейлера — Нагеля). Більш того,

$\left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.$

• Центр Шпікера лежить на гіперболі Кіперта трикутника.

• Центр Шпікера $\triangle ABC$ є точкою перетину прямих $AX$, $BY$ і $CZ$, де $\triangle XBC$, $\triangle YCA$ і $\triangle ZAB$ — подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника $\triangle ABC$ зовні, мають однаковий кут при основі $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$.
  • Ця властивість виконується не тільки для центра Шпікера. Наприклад, перша точка Наполеона $N_{1}$, як і центр Шпікера, є точкою перетину прямих $AX$, $BY$ і $CZ$, де $\triangle XBC$, $\triangle YCA$ і $\triangle ZAB$ — подібні, рівнобедрені й однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника $\triangle ABC$ зовні, мають однаковий кут при основі $30^{\circ }$.

• Центр Шпікера є радикальним центром трьох зовнівписаних кіл.
• Трикутні координати точки $S$: $(bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))$.

• Барицентричні координати центра Шпікера:

  $(b+c,c+a,a+b)$.

Література

• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (30 квітня). Архівовано з джерела 14 листопада 2021. Процитовано 20 травня 2021.
• Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.