Зовнівписане коло

Зовнівписане коло трикутника — коло, яке дотикається до сторони трикутника та продовження двох інших його сторін .

Трикутник (чорний) з вписаним колом (синім), зовнівписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Будь-який трикутник має три зовнівписані кола з центрами $I_{A}$, $I_{B}$, $I_{C}$, які дотикаються до сторін $a$, $b$, $c$ відповідно. Радіуси цих кіл позначають $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ відповідно.

Властивості

Ілюстрація доведення властивостей

• Центр $I_{A}$ зовнівписаного кола є точкою перетину бісектриси кута $\angle A$ та двох бісектрис зовнішніх кутів з вершинами $B$ і $C$ трикутника $ABC$.
• Нехай точки $T$ та $F$ — точки дотику зовнівписаного кола з центром $I_{A}$ до продовжень сторін $AB$ та $AC$ трикутника $ABC$. Тоді $AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Доведення.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, $AT=AF$. За цією ж властивістю маємо, що $BK=BF$ та $CT=CK$, де $K$ — точка дотику цього кола до сторони $BC$. Тоді

$AT+AF=AC+CT+AB+BF=AC+CK+AB+BK=AC+AB+BC=a+b+c=P_{ABC}$. Оскільки $AT=AF$, то кожен з цих відрізків рівний половині їх суми, тобто $AT=AF=p={\frac {a+b+c}{2}}$.

• З попередньої властивості легко випливає, що $BK=p-c$ та $CK=p-b$.
• $r_{a}={\frac {S}{p-a}}$, $r_{b}={\frac {S}{p-b}}$, $r_{c}={\frac {S}{p-c}}$, де $S$ — площа трикутника $ABC$, а $p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Доведення.Нехай $K$ — точка дотику зовнівписаного кола з центром $I_{A}$ до сторони $BC$ трикутника $ABC$. Тоді $S_{ABC}=S_{ABI_{A}}+S_{ACI_{A}}-S_{BCI_{A}}={\frac {1}{2}}AB\cdot r_{a}+{\frac {1}{2}}AC\cdot r_{a}-{\frac {1}{2}}BC\cdot r_{a}={\frac {1}{2}}r_{a}(b+c-a)=r_{a}(p-a)$. Звідси $r_{a}={\frac {S}{p-a}}$. Аналогічно можна легко отримати, що $r_{b}={\frac {S}{p-b}}$ та $r_{c}={\frac {S}{p-c}}$.

• $S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}$.

Доведення.

З попередньої властивості маємо, що $S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)$. Звідси $S^{3}=r_{a}r_{b}r_{c}(p-a)(p-b)(p-c)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}S^{2}}{p}}$ (за формулою Герона), а тому $S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}$.

• $S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}$.

Доведення.

З попередньої властивості, $S={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{rp}}={\frac {rr_{a}r_{b}r_{c}}{S}}$, звідки $S^{2}=rr_{a}r_{b}r_{c}$, а тому $S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}$.

• ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}$.

Доведення.

Розпишемо: $p=3p-2p=3p-(a+b+c)=(p-a)+(p-b)+(p-c)$. З того, що $r_{a}={\frac {S}{p-a}}$ (одна з попередніх властивостей), маємо $p-a={\frac {S}{r_{a}}}$. Аналогічно $p-b={\frac {S}{r_{b}}}$ та $p-c={\frac {S}{r_{c}}}$. Також справедлива формула $p={\frac {S}{r}}$, оскільки $S=rp$. Замінивши компоненти в першій рівності, одержимо ${\frac {S}{r}}={\frac {S}{r_{a}}}+{\frac {S}{r_{b}}}+{\frac {S}{r_{c}}}$. Скоротивши обидві частини останньої рівності на ненульовий множник $S$, отримаємо остаточно ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}$.

• Нехай $I$ — центр вписаного кола, $I_{A}$ — центр зовнівписаного кола. Тоді описане навколо трикутника $ABC$ коло ділить відрізок $II_{A}$ навпіл. Іншими словами, якщо $W$ — точка перетину бісектриси кута $\angle A$ та описаного кола трикутника $ABC$, то $IW=WI_{A}$ (Лема Мансіона, частина теореми про трилисник (тризуб)).

Див. також

• Вписане коло
• Описане коло
• Бісектриса

Література

• Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0058-2
• Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: підруч. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики. — Х.: Гімназія, 2009. — 240 с.  ISBN 978-966-474-012-5