Тетраедричні числа

Тетраедричне число — це фігурне число, яке представляє правильний тетраедр — піраміду, в основі якої лежить правильний трикутник.

Піраміда з довжиною сторони 5 містить 35 сфер. Кожний шар є одним із перших п'яти трикутних чисел.

Приклад кількох перших тетраедричних чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (послідовність A000292 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Формула

Формула для $n$-го тетраедричного числа:

$T_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.$

Також формула може бути виражена через біноміальні коефіцієнти:

$T_{n}={\binom {n+2}{3}}.$

Тетраедричні числа знаходяться на 4-й позиції в трикутнику Паскаля.

Властивості

• $n$-не тетраедричне число є сумою перших $n$ трикутних чисел.
• Тільки три тетраедричних числа є квадратами:

  T₁ = 1² = 1

  T₂ = 2² = 4

  T₄₈ = 140² = 19600.

• П'ять чисел є трикутними (послідовність A027568 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

  Te₁ = Tr₁ = 1

  Te₃ = Tr₄ = 10

  Te₈ = Tr₁₅ = 120

  Te₂₀ = Tr₅₅ = 1540

  Te₃₄ = Tr₁₁₉ = 7140

• Єдиним пірамідальним числом, що одночасно є квадратом і кубом, є число 1.
• Можна помітити, що:

  T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁.

• Нескінченна сума обернених чисел до тетраедричних чисел дорівнює 3/2, що може бути отримано за допомогою телескопічного ряду:

  $\!\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$

Див. також

• Гіпотези Поллока
• Числа зірчастого октаедра

Посилання

• Weisstein, Eric W. Тетраедричне число(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà