Квадратне число

Квадрат або квадратне число — додатне ціле число, яке може бути записане у вигляді квадрата деякого іншого числа (інакше кажучи, число, квадратний корінь якого цілий). Геометрично таке число може бути представлене у вигляді площі квадрата з цілочисловою стороною.

Квадратне число
Формула	$n^{2}$
Позначення у формулі	$n$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Квадратне число у Вікісховищі

Наприклад, 9 — квадратне число, оскільки воно може бути записане у вигляді 3 × 3.

Деякі властивості

• Квадратне число номер $n$ дорівнює $n$²
• 4 різних квадрати не можуть утворювати арифметичну прогресію. (Приклад трьох квадратів, які утворюють арифметичну прогресію: 1, 25, 49)
• $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots +n^{2}=n(n+1)(2n+1)/6$
• Кожне число може бути представлене як сума 4 квадратів (Теорема Лагранжа про чотири квадрати).
• В кільці $Z_{p}$ (де $p$ — непарне просте) $(p+1)/2$ елементів є квадратами.
• 4900 — єдине число > 1, яке одночасно є квадратним і пірамідальним.
• Суми пар послідовних трикутних чисел є квадратними числами.
• Остання цифра квадрата (в десятковому записі) може бути лише 0, 1, 4, 5, 6, 9.
• Дві останні цифри квадрата (в десятковому записі) можуть бути тільки 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.
• Квадратні числа (і тільки вони) мають непарну кількість дільників.

Геометричне представлення

1

4

9

16

25

Квадрати перших п'ятдесяти чисел

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500 (послідовність A000290 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Див. також

• Квадрат (значення)
• Трикутне число
• Фігурні числа

Джерела

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC