Теорема Ейзенштейна

Теорема Ейзенштейна — результат у геометричній арифметиці, доведений німецьким математиком Готлобом Ейзенштейном :

Згідно твердження теореми якщо формальний степеневий ряд $y=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}X^{n}$ є алгебричною функцією, тобто задовольняє рівняння P(X, y) = 0 для деякого ненульового многочлена P(X, Y) коефіцієнти якого є алгебричними числами то існує ненульове ціле число A, таке що для всіх n > 0, число Aⁿa_n є алгебричним цілим числом.

Зокрема якщо коефіцієнти a_n є раціональними, то Aⁿa_n є цілими числами , тому прості дільники знаменників усіх чисел a_n належать скінченній множині простих дільників числа A. Наслідком цього зокрема є трансцендентність, наприклад, логарифмічної і експоненційної функцій.

Приклад

Для будь-якого цілого числа p > 0,

$(1-x)^{1/p}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}}~x^{n}$

де додатні числа C_p,n, узагальнюють числа Каталана C_n (що є частковим випадком для p = 2). Оскільки функція $(1-x)^{1/p}$ є алгебричною (є коренем рівняння $y^{p}+x-1$), то має існувати число A в твердженні теореми. Таким числом очевидно є, наприклад, $A=p^{2}$. Дійсно $A^{n}a_{n}=p^{2n}{\frac {C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}}=pC_{p,n-1}\in \mathbb {Z} .$

Генератриса чисел C_p,n є рівною,

$z:=\sum _{n=0}^{\infty }C_{p,n}x^{n}={\frac {1-(1-p^{2}x)^{1/p}}{px}}.$

Для чисел C_p,n виконується рівність і рекурентні співвідношення

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad C_{p,n}=\sum _{2\leq k\leq p}{p \choose k}p^{k-2}(-1)^{k}\prod _{i_{1}+\dots +i_{k}=n-k+1}C_{p,i_{j}}.$

Доведення

Нехай N позначає степінь змінної Y у многочлені P(X, Y). Існують многочлени P_j(X, Y) (коефіцієнти яких є алгебричними числами) для яких

$P(X,Y+Z)=\sum _{j=0}^{N}P_{j}(X,Y)Z^{j}.$

Згідно гіпотези, P(X, y) = 0. Без втрати загальності можна припустити, P₁(X, y) ≠ 0 — в іншому випадку P(X, Y) можна замінити на P₁(X, Y), що є ненульовою і для якої степінь змінної Y є < N.

Нехай m є нормуванням P₁(X, y), тобто найменшим індексом k для якого коефіцієнт X^k у цьому формальному степеневому ряді є не рівним нулю. Можна записати:

$y=u+X^{m+1}v\quad u=\sum _{n=0}^{m+1}a_{n}X^{n}\quad v=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\quad (b_{n}=a_{m+1+n}).$

Згідно гіпотези тереми, усі a_n є алгебричними числами, твердження достатньо довести для v. Маємо

$0=P(X,y)=P_{0}(X,u)+P_{1}(X,u)X^{m+1}v+\sum _{j=2}^{N}P_{j}(X,u)(X^{m+1}v)^{j}.$

Згідно вибору m, многочлен P₁(X, u)X^m+1 ділиться на X^2m+1 але не на X^2m+2. Оскільки сума є рівною нулю, то і P₀(X, u) ділиться на X^2m+1 і поділивши на цю степінь отримаємо

$\sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)v^{j}=0,\quad \forall j>1\quad Q_{j}(0)=0\quad {\rm {et}}\quad A:=Q_{1}(0)\neq 0.$

Коефіцієнти многочленів Q_j є алгебричними числами. Помноживши на деяке ціле число можна вважати, що всі ці числа є алгебричними цілими, як і число A. Рекурентно можна довести це ж і для Aⁿb_n для n ≥ 1. Розглянувши коефіцієнти при степенях n у рівності

$\sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)^{j}=0,$

отримаємо, що $Ab_{n}$є лінійною комбінацією з коефіцієнтами, що є алгебричними цілими виразів виду

$\prod _{1\leq i<n}b_{i}^{k_{i}}\quad \sum ik_{i}<n.$

Кожен такий доданок помножений на $Ab_{n}$є згідно припущення індукції алгебричним цілим і тому їх сума є алгебричним цілим.

Література

• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2008). A local Eisenstein theorem: Power series, norms, and the local Eisenstein theorem. Heights in Diophantine Geometry. Cambridge University Press. с. 362—376. doi:10.2277/0521846153.
• Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.