Псі-функція Дедекінда

Псі-функція Дедекінда — мультиплікативна арифметична функція, яку ввів німецький математик Ріхард Дедекінд для вивчення модулярних функцій.

Значення функції ψ(n) для перших кількох натуральних чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (послідовність A001615 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Означення

Псі-функція Дедекінда є арифметичною функцією, тобто є визначеною на множині натуральних чисел. За означенням ψ(1) = 1. Для інших чисел можна дати кілька еквівалентних означень:

• Для $n\geqslant 2:$

$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),$

де добуток береться за всіма простими числами p, що ділять n.

• Якщо розклад числа $n\geqslant 2$ на прості множники є $n=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{k}^{a_{k}},$ де всі $a_{i}>0$ то значення функції є рівним:

$\psi (n)=(p_{1}+1)p_{1}^{a_{1}-1}\ldots (p_{k}+1)p_{k}^{a_{k}-1}.$

• Функцію ψ для степенів простих чисел p є рівною $\psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}$ і, до того ж вона є мультиплікативною, тобто для двох взаємно простих чисел $m$ і $n$ виконується рівність $\psi (mn)=\psi (m)\psi (n).$ Ці дві властивості дозволяють визначити значення функції для довільного натурального числа.
• Означення функції Дедекінда можна дати також за допомогою згортки Діріхле

$\psi (n)=\mathrm {Id} *|\mu |(n)=\mathrm {Id} *\mu ^{2}(n)$

де $\mathrm {Id} (n)=n$, а $\mu (n)$ є функцією Мебіуса.

• Якщо $a|n$ нехай $e(a)$ позначає найбільший спільний дільник чисел $a$ і ${n \over a}.$ Тоді:

$\psi (n)=\sum _{a|n}({a \over e(a)})\varphi (e(a))$

де $\varphi$ — функція Ейлера.

Властивості

• Значення функції ψ(n) є більшим, ніж n для всіх n більших 1 і є парним для всіх n більших, ніж 2.

• Псі-функція Дедекінда є мультиплікативною.

• Якщо n є вільним від квадратів числом, то ψ(n) = σ(n).

• Ряд Діріхле функції Дедекінда пов'язаний із дзета-функцією Рімана співвідношенням

$\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.$

Функції Дедекінда вищих порядків

Узагальненням псі-функції є функції

$\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$

де k є натуральними числами, а $J_{k}$ є арифметичними функціями Жордана: ${\textstyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,}$

Еквівалентно можна дати означення через згортку Діріхле:

$\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)$.

Ряди Діріхле для цих функцій пов'язані із дзета-функцією співвідношеннями:

$\sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}$.

Якщо позначити

$\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots$

характеристичну функцію квадратів, то згортка цієї функції із узагальненою функцією Діріхле є рівною функції σ_k,

$\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)$.

Див. також

• Дзета-функція Рімана.
• Функція Ейлера
• Функція Мебіуса

Посилання

• Weisstein, Eric W. Dedekind Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton. (page 25, equation (1))
• Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 [math.NT]. Section 3.13.2
•  A065958 is ψ₂,  A065959 is ψ₃, and  A065960 is ψ₄