Арифметична функція

Арифметична (аритметична) функція — функція, визначена на множині натуральних чисел $\mathbb {N}$, що набуває значень у множині комплексних чисел $\mathbb {C}$.

Визначення

Як випливає з визначення, арифметичною функцією називається будь-яка функція

$f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$

Назва арифметична функція пов'язана з тим, що в теорії чисел відомо багато функцій $~f(n)$ натурального аргументу $~n$, які виражають ті або інші арифметичні властивості $~n$. Тому, неформально кажучи, під арифметичною функцією розуміють функцію $~f(n)$, яка «виражає деяку арифметичну властивість» натурального числа $~n$ (див. приклади арифметичних функцій нижче).

Багато арифметичних функцій, що розглядаються в теорії чисел, насправді приймають цілочислові значення.

Операції і зв'язані поняття

• Сумою арифметичної функції $f$ називають функцію $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$, визначену як

$F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).$

Ця операція є «дискретним аналогом» невизначеного інтеграла; при цьому, хоча початкова функція і була визначена тільки на $\mathbb {N}$, її суму виявляється зручним вважати визначеною на всій додатній півосі (при цьому вона, природно, кусково-стала).

• Згорткою Діріхле двох арифметичних функцій f і g називається арифметична функція h, визначена за правилом

$\ h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).$

• Арифметичній функції f можна зіставити її генератрису—ряд Діріхле

$\ \Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.$

При цьому згортці Діріхле двох арифметичних функцій відповідає добуток їх генератрис.

• Поточкове множення на логарифм

$f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,$

є диференціюванням алгебри арифметичних функцій: відносно згортки воно задовольняє правилу Лейбніца

$\ (f*g)'=f'*g+f*g'.$

Перехід до генератриси, перетворює цю операцію на звичайне диференціювання.

Відомі арифметичні функції

Кількість дільників

Арифметична функція $~\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ визначається як число додатнних дільників натурального числа $~n$:

$~\tau (n)=\sum _{d|n}1$

Якщо $~m$ і $~n$ взаємно прості, то кожен дільник добутку $~mn$ може бути єдиним чином поданий у вигляді добутку дільників $~m$ і $~n$, і навпаки, кожне такий добуток є дільником $~mn$. Звідси випливає, що функція $~\tau$ мультиплікативна:

$~\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$

Якщо $~n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}$ — розклад на прості множники натурального числа $~n$, то зважаючи на мультиплікативність

$~\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1}})\tau (p_{2}^{s_{2}})\ldots \tau (p_{r}^{s_{r}})$

Але додатними дільниками числа $p_{i}^{s_{i}}$ є $~s_{i}+1$ чисел $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i}}$.

Відповідно

$~\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)$

Сума дільників

Функція $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ визначається як сума дільників натурального числа $~n$:

$~\sigma (n)=\sum _{d|n}d$

Узагальнюючи функції $~\tau (n)$ і $~\sigma (n)$ для довільного, взагалі кажучи комплексного $~k$ можна визначити $~\sigma _{k}(n)$ — суму $k$-их степенів додатних дільників натурального числа $~n$:

$~\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}$

Використовуючи нотацію Айверсона можна записати

$~\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]$

Функція $~\sigma _{k}$ мультиплікативна:

$m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)$

Якщо $~n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i}}$ — розклад на прості дільники натурального числа $~n$, то

$~\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_{i}-1}}$

Функція Ейлера

Функція Ейлера $\varphi (n)$, визначається як кількість додатних цілих чисел, що не є більшими за $~n$, і є взаємно простими з $~n$.

Користуючись нотацією Айверсона можна записати:

$\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]$

Функція Ейлера мультиплікативна:

$m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$

У явному вигляді значення функції Ейлера виражається формулою:

$\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)$

де $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ — різні прості дільники $~n$.

Функція Мебіуса

Функцію Мебіуса $~\mu (n)$ можна визначити як арифметичну функцію, що задовольняє наступній властивості:

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases}}$

Тобто сума значень функції Мебіуса по всіх дільниках цілого додатного числа $~n$ рівна нулю, якщо $~n>1$, і рівна $~1$, якщо $~n=1$.

Можна показати, що цьому рівнянню задовольняє лише одна функція, і її можна явно задати наступною формулою:

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}|n\\1,&n=1\end{cases}}$

Тут $p_{i}$ — різні прості числа $p$ — просте число. Інакше кажучи, функція Мебіуса $\mu (n)$ рівна $0$, якщо $n$ не вільно від квадратів (тобто ділиться на квадрат простого числа), і рівна $~\pm 1$ інакше (плюс або мінус вибирається залежно від парності числа простих дільників $~n$).

Функція Мебіуса є мультиплікативною функцією.

Див. також

• Алгебраїчна функція
• Аналітичні функції
• Раціональні функції
• Трансцендентні функції
• Функція суми квадратів

Література

• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)