Просте розширення поля

Просте розширення — розширення поля, породжене додаванням до поля одного елемента.

Визначення

Розширення поля L/K називається простим якщо існує елемент θ в полі L такий що єдиним підполем поля L, що містить як K так і θ є саме поле L.

Елемент θ тоді називається первісним елементом розширення L/K. Просте розширення за допомогою елемента θ позначається K(θ).

Класифікація

• Якщо θ трансцендентний над K, то поле K(θ) ізоморфне K(X) — полю раціональних функцій з коефіцієнтами з K. Дане розширення — нескінченне.
• Якщо θ алгебраїчний над K, то для θ існує єдиний мінімальний многочлен $f(x)\in K[x]$ тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого $f(\theta )=0$. Тоді поле K(θ) ізоморфне K[θ] — кільцю многочленів від елемента θ. Дане розширення в цьому випадку є скінченним, його степінь рівний степеню мінімального многочлена елемента θ.

Властивості

• Теорема про первісний елемент: Скінченне розширення L/K є простим тоді і тільки тоді коли кількість полів F, таких що K ⊆ F ⊆ L є скінченною.

Зокрема як наслідки з цієї теореми:

• Довільне скінченне сепарабельне розширення є простим.
• Якщо [L : K] порядок розширення є простим числом, тоді розширення L / K є простим.
• Теорема Люрота. Якщо K(θ) — просте трансцендентне розширення поля K, то довільне його підполе, що містить K і не є йому рівним є теж простим трансцендентним розширенням поля K.

Приклади

• Розширення $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ є простим (породжуючим елементом є i).
• Довільне скінченне розширення поля раціональних чисел є простим, оскільки воно є сепарабельним.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .