Правило повного математичного сподівання
В теорії ймовірностей твердження відоме як закон повного математичного сподівання[1], закон повторних сподівань[2], правило вежі[3], закон Адама чи теорема згладжування[4] стверджує, що якщо — випадкова величина, з визначеним матсподіванням , а — довільна випадкова величина на тому ймовірнісному просторі.
тобто значення сподівання умовного матсподівання значення для певного дорівнює матсподіванню .
У спеціальному випадку, для - скінченного або зліченного розбиття простору елементарних подій, тоді
Приклад ред.
Припустимо, що дві фабрики постачають на ринок лампочки. Лампочки із заводу працюють в середньому 5000 годин, тоді як лампи заводу працюють в середньому впродовж 4000 годин. Відомо, що фабрика постачає 60% від загальної кількості наявних ламп. Яка очікувана тривалість часу роботи придбаної лампочки?
Застосовуючи закон повного матсподівання отримаємо:
де
- — тривалість роботи лампочки;
- — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі X;
- — ймовірність, що куплена лампочка виготовлена на заводі Y;
- — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі X;
- — очікувана тривалість роботи лампочки виготовленої на заводі Y.
Отже, очікувана тривалість роботи кожної придбаної лампочки дорівнює 4600 годин.
Доведення для скінченних і зліченних випадків ред.
Нехай випадкові величини та визначені на одному ймовірнісному просторі, припустимо скінченну чи зліченну множину скінченних значень. Припустимо що визначена, тобто . Якщо — подрібнення ймовірнісного простору , то
Доведення ред.
Якщо ряд скінченний, то можемо змінити порядок сумування й попередній вираз запишеться
Якщо ж, з іншого боку, ряд нескінченний, то його збіжність не може бути умовною через припущення, що Ряд збіжний абсолютно якщо обидвоє, і - скінченні і розбіжний до нескінченності, якщо чи чи — нескінченне. В обидвох випадках порядок сумування можна змінити не змінюючи суми.
Доведення у загальному випадку ред.
Нехай — ймовірнісний простір, з визначеними на ньому σ-алгебрами . Для випадкової величини на такому просторі, закон згладжування стверджує, що якщо - визначене, тобто , тоді
Доведення. Завдяки тому, що умовне матсподівання це похідна Радона – Нікодима, доведення закону згладжування зводиться до перевірки таких двох властивостей:
- є -вимірною
- для всіх
Перша з цих властивостей випливає з означення умовного матсподівання. Для доведення другого,
отже інтеграл визначений (не дорівнює ).
Друга властивість правильна, бо з випливає
Висновок. В особливому випадку, коли і , закон згладжування зводиться до
Доведення формули розбиття ред.
де - характеристична функція множини .
Якщо розбиття - скінченне, то, за властивістю лінійності, попередній вираз записується у вигляді
що й треба було показати.
Якщо ж розбиття - нескінченне, то застосовуючи теорему про мажоровану збіжність можемо показати
Справді, для кожного ,
Позаяк кожен елемент множини належить певному елементу подрібнення , легко перевірити що послідовність поточково збіжна до X. За припущенням у твердженні, . Застосовуючи теорему про мажоровану збіжність отримуємо бажане твердження.
Див. також ред.
- Основна теорема покеру[en] для одного практичного застосування.
- Формула повної ймовірності
- Закон повної дисперсії
- Закон повної коваріації
- Закон сукупної кумуляції
- Розподіл добутку двох випадкових величин[en], див. підрозділ про сподівання (застосування Закону для доведення того, що сподівання добутку це добуток сподівань)
Джерела ред.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. (англ.) (Теорема 34.4)
- Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)
Примітки ред.
- ↑ Weiss, Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. с. 380—383. ISBN 0-321-18954-X. (англ.)
- ↑ Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki. brilliant.org (en-us) . Процитовано 28 березня 2018.
- ↑ Rhee, Chang-han (20 вересня 2011). Probability and Statistics (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 26 березня 2023. (англ.)
- ↑ Wolpert, Robert (18 листопада 2010). Conditional Expectation (PDF). (англ.)