Теорема Радона — Нікодима

Теоре́ма Радо́на — Ніко́дима в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах описує загальний вид міри, абсолютно неперервної щодо іншої міри.

Формулювання ред.

Нехай   — простір з мірою і міра   є  -скінченною. Тоді якщо міра   є абсолютно неперервною відносно    , то існує вимірна функція  , така що

 

де інтеграл розуміється в сенсі Лебега. Якщо   є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то    -майже всюди.

Для зарядів і комплексних мір ред.

Нехай   — простір з мірою і міра   є  -скінченною і   є σ-адитивним зарядом або комплексною мірою і   тобто   є абсолютно неперервним щодо   то існує  -вимірна дійсно- чи комплекснозначна функція   на   така, що для кожної вимірної множини  

 

Якщо   є іншою функцією, що задовольняє твердження теореми, то    -майже всюди.

Пов'язані визначення ред.

  • Функція  , існування якої гарантується теоремою Радона — Нікодима, називається похідною Радона — Нікодіма міри   щодо міри  . Пишуть:
     

Властивості ред.

  • Нехай   —  -скінченні міри, визначені на одному і тому ж просторі з мірою  . Тоді якщо   і  , то
 
  • Нехай  . Тоді
    — майже всюди.
  • Нехай   і   — вимірна функція, інтегрована щодо міри  , то
 
  • Нехай   і  . Тоді
 
  • Нехай   — заряд. Тоді
 

Припущення σ-скінченності ред.

У випадку якщо міра   не є σ-скінченною тоді твердження теореми не виконується. Для прикладу можна розглянути борелівську σ-алгебру на множині дійсних чисел. На даній σ-алгебрі можна задати міру  , що рівна кількості елементів множини для скінченних множин і +∞ в іншому випадку. Визначена таким чином міра не є σ-скінченною, оскільки не всі борелівські множини є зліченними. Нехай   — міра Лебега.   — абсолютно неперервна відносно  , оскільки єдина множина A нульової міри   — пуста множина і тоді ν(A) = 0.

Якщо припустити, що теорема Радона — Нікодима справджується, то існує вимірна функція f, для якої:

 

для всіх борелівських множин. Нехай A — довільна одноелементна множина , A = {a}, і, використовуючи згадану вище рівність, одержується:

 

для всіх дійсних чисел a. Звідси функція f, і міра Лебега ν, є нульовими, що суперечить означенню міри Лебега.

Доведення ред.

Нижче подані два доведення перше із яких використовує стандартні методи теорії міри, зокрема властивості (σ-адитивних) зарядів. Ключову роль у ньому відіграє теорема Гана про розклад мір і розклад Жордана. Друге використовує той факт, що класи еквівалентності інтегровних у квадраті функцій утворюють гільбертів простір і властивості гільбертових просторів, зокрема теорему Ріса.

Доведення методами теорії міри ред.

Ідея доведення полягає у тому, що спершу для скінченних мір μ і ν розглядаються функції f для яких f dμ. Теорема доводиться із використанням супремуму таких функцій і теореми Леві промонотонну збіжність. Після доведення твердження для скінченних мір воно легко узагальнюється на σ-скінченні міри, заряди і комплексні міри.

Доведення для скінченних мір ред.

Нехай μ і ν є скінченними невід'ємними мірами і F позначає множину вимірних функцій f  : X → [0, ∞] для яких:

 

F не є порожньою оскільки містить принаймні нульову функцію. Нехай f1,  f2F і для вимірної множини A позначимо підмножини:

 

Тоді

 

і тому також max{ f1,  f2} ∈ F.

Якщо fn є послідовністю функцій F для якої

 

то замінюючи fn на максимум перших n функцій, можна припустити, що послідовність fn є зростаючою. Нехай g  : X → [0, ∞] є поточковою границею послідовності:

 

Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

 

для кожної A ∈ Σ і тому gF. Також за побудовою

 

Оскільки gF, то функція множин задана як

 

є невід'ємною мірою на Σ. Необхідно довести, що ν0 = 0.

Якщо припустити, що ν0 ≠ 0, то оскільки μ є скінченною мірою, існує ε > 0 для якого ν0(X) > ε μ(X). Розглянемо заряд ν0ε μ і його додатну множину P ∈ Σ із розкладу Гана.

Тоді для довільної A ∈ Σ також ν0(AP) ≥ ε μ(AP), і тому

 

де 1P є характеристичною функцією множини P. Також μ(P) > 0 адже якщо μ(P) = 0, тоді із того, що ν є абсолютно неперервним щодо μ і ν0(P) ≤ ν(P) = 0 випливає, що ν0(P) = 0 і

  де N ∈ Σ є від'ємною множиною із розкладу Гана.

Остання нерівність суперечить тому, що ν0(X) > εμ(X).

Оскільки також

 

то g + ε 1PF і

 

Ця нерівність є неможливою і тому припущення, що ν0 ≠ 0 є хибним і ν0 = 0.

Оскільки g є μ-інтегровною, то множина {xX : g(x) = ∞} має μ-міру рівну нулю. Тому функція f визначена як

 

є дійснозначною функцією, що задовольняє умови теореми Радона — Нікодима.

Нехай f, g : X → [0, ∞) є двома вимірними функціями для яких

 

для кожної вимірної множини A. Тоді gf є μ-інтегровною і

 

Зокрема для A = {xX : f(x) > g(x)}, або{xX : f(x) < g(x)}. Звідси випливає, що

 

і тому (gf )+ = 0 μ-майже сюди; таке ж твердження є вірним і для (gf ) і тому f = g μ-майже всюди.

Доведення для σ-скінченних мір ред.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Для кожного числа n із доведеного скінченного випадку існує Σ-вимірна функція fn  : Bn → [0, ∞) для якої

 

для кожної Σ-вимірної підмножини A із Bn. Сума   тоді є необхідною функцією для якої  .

Оскільки кожна із функцій fn є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль, то і f є єдиною з точністю до множин μ-міри нуль.

Доведення для зарядів і комплексних мір ред.

Якщо ν є σ-скінченним σ-адитивним зарядом, то для нього існує розклад Жордана ν = ν+ν де одна із мір є скінченною. Застосовуючи теорему Радона — Нікодима до цих мір одержуються функції g, h : X → [0, ∞), принаймні одна з яких є μ-інтегровною. Функція f = gh задовольняє умови теореми, зокрема і єдиність з точністю до множин μ-міри нуль.

Якщо ν є комплексною мірою то її можна записати як ν = ν1 + 2, де ν1 і ν2 є скінченними σ-адитивними зарядами. Тому із попереднього одержуються функції, g, h : X → [0, ∞), які задовольняють твердження теореми для зарядів ν1 і ν2, відповідно. Функція f = g + ih тоді задовольняє твердження теореми Радона — Нікодима для комплексних мір.

Доведення методами функціонального аналізу ред.

Тут доводиться випадок скінченних невід'ємних мір. Перехід на інші випадки аналогічний попередньому доведенню.

Нехай   є сумою мір. Тоді для будь-якої невід'ємної вимірної функції  

 

Простір   всіх інтегровних у квадраті функцій щодо міри   із відношенням еквівалентності яке ідентифікує функції які набувають різних значень лише на множині  -міри нуль є гільбертовим простором. Для функції   тоді згідно нерівності Коші — Буняковського для гільбертових просторів:

 

Оскільки   є скінченним, то   є обмеженим лінійним функціоналом на просторі   Згідно теореми Ріса, існує такий елемент  , що лінійний функціонал є рівний скалярному добутку на цей елемент, тобто

 

Якщо для довільної вимірної множини   зокрема взяти за   характеристичну функцію множини  , то із того, що   випливає нерівність

 

Оскільки ці нерівності виконуються для всіх вимірних множин  , то також і   майже скрізь на   щодо міри  . Дійсно, якщо б це було не так, то оскільки множина   є об'єднанням зліченної кількості відкритих інтервалів   і   то хоча б для одного такого інтервалу   або   Якщо це справедливо для першого типу інтервалів, то позначивши   тоді

 

що суперечить нерівностям вище для довільного  . Аналогічно для другого типу інтервалів позначивши   тоді

 

що, знову ж, суперечить згаданим нерівностям.

Можна змінити функцію   на множині  -міри нуль щоб нерівності   виконувалися на всьому просторі  . Із попередніх рівностей випливає, що для всіх  

 

Якщо позначити   і  , то із останньої рівності для   випливає, що   і відповідно  .

Із обмеженості функції   випливає, що  . Підставивши цю функцію у рівність інтегралів одержується рівність

 

Для усіх точок із   функції   монотонно зростають до одиничної функції, а на множині   усі функції   є рівними нулю. Звідси із використанням теореми Леві про монотонну збіжність

 .

Послідовність функцій   поточково монотонно прямує до невід'ємної вимірної функції   і з використанням теореми про монотонну збіжність   і остаточно для всіх вимірних множин  

 

Якщо у цій формулі взяти всю множину   то одержується єдиним чином визначений елемент   який задовольняє умови теореми. Всі функції, що задовольняють умови теореми відповідно належать вказаному класу еквівалентності і між собою відрізняються лише на множині μ-міри нуль.

Доведення теореми Лебега ред.

Позначення і схему цього доведення можна використати для доведення теореми Лебега про розклад міри. У вказаному доведенні можна розглядати міру  , функцію  , множини   і   навіть якщо міра   не є абсолютно неперервною щодо  . У цьому випадку також   але звідси не обов'язково випливає, що  .

Тоді можна розглянути міри   і  . Міри   і   є сингулярними, а для   можна як і у доведенні знайти функцію для якої   Зокрема   є абсолютно неперервною щодо   і відповідно існує розклад   міри   на суму двох мір одна з яких є сингулярною, а інша — абсолютно неперервною щодо міри  , що і є твердженням теореми Лебега для скінченних мір.

Якщо μ і ν є σ-скінченними, то X можна записати як диз'юнкте об'єднання множин {Bn}n із Σ, кожна із яких має скінченну міру у μ і ν. Тоді обмеження μ і ν на кожну підмножину Bn є скінченними мірами і на цій підмножині можна ввести міри ν1 і ν2. Разом із зліченної адитивності ці міри визначаються на всьому просторі і перша з них буде сингулярною, а друга — абсолютно неперервною щодо міри μ.

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Дороговцев, А. Я. (1989). Элементы общей теории меры и интеграла. К.: Вища школа. с. 152. ISBN 5-11-001190-7. 
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
  • Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Rudin, Walter (1966). Real & Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.