Порядок елемента

Порядок елемента в теорії груп — найменше додатне ціле $m$, таке що $m$-разове групове множення даного елемента $g\in G$ на себе дає нейтральний елемент:

$\underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e$.

Іншими словами, $m$ — кількість різних елементів циклічної підгрупи, породженої даним елементом. Якщо такого $m$ не існує (або, еквівалентно, число елементів циклічної підгрупи нескінченне), то кажуть, що $g$ має нескінечний порядок. Позначається як $\mathrm {ord} (g)$ або $|g|$.

Вивчення порядків елементів групи може дати інформацію про її структуру. Декілька глибоких питань щодо зв'язку порядку елементів і порядку групи містяться в різних задачах Бернсайда, деякі з них залишаються відкритими.

Основні властивості

Порядок елемента дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли елемент є нейтральним.

Якщо будь-який не нейтральний елемент у $G$ збігається зі своїм оберненим (тобто $g^{2}=e$), то $\mathrm {ord} (a)=2$ і $G$ є абелевою групою, оскільки $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$. Обернене твердження в загальному випадку хибне: наприклад, (адитивна) циклічна група $\mathbb {Z} _{6}$ цілих чисел за модулем 6 — абелева, але число 2 має порядок 3:

$2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}$.

Для будь-якого цілого $k$ тотожність $g^{k}=e$ виконана тоді й лише тоді, коли $\mathrm {ord} (g)$ ділить $k$.

Усі степені елемента нескінченного порядку мають нескінченний порядок. Якщо $g$ має скінченний порядок, то порядок $g^{k}$ дорівнює порядку $g$, поділеному на найбільший спільний дільник чисел $\mathrm {ord} (g)$ і $k$. Порядок оберненого елемента збігається з порядком елемента ($\mathrm {ord} (g)=\mathrm {ord} (g^{-1})$).

Зв'язок із порядком групи

Порядок будь-якого елемента групи ділить порядок групи. Наприклад, у симетричній групі $S_{3}$, що складається з шести елементів, нейтральний елемент $e$ має (за визначенням) порядок 1, три елементи, що є коренями з $e$ — порядок 2, а порядок 3 мають два елементи, що залишилися, які є коренями елементів порядку 2: тобто, всі порядки елементів є дільниками порядку групи.

Частково обернене твердження правильне для скінченних груп (теоретико-групова теорема Коші): якщо просте число $p$ ділить порядок групи $G$, то існує елемент $g\in G$, для якого $\mathrm {ord} (g)=p$. Твердження не виконується для складених порядків, так що 4-група Кляйна не містить елемента порядку чотири.

Порядок добутку

У будь-якій групі $\mathrm {ord} (ab)=\mathrm {ord} (ba)$.

Немає загальної формули, що пов'язує порядок добутку $ab$ з порядками співмножників $a$ і $b$. Можливий випадок, коли і $a$, і $b$ мають скінченні порядки, а порядок добутку $ab$ нескінченний, також можливо, що і $a$, і $b$ мають нескінченний порядок, тоді як $\mathrm {ord} (ab)$ — скінченний. Приклад першого випадку: в симетричній групі над цілими числами перестановки, що задаються формулами $a(x)=2-x,b(x)=1-x$ тоді $ab(x)=x-1$. Приклад другого випадку: перестановки в тій самій групі $a(x)=x+1,b(x)=x-1$, добуток яких є нейтральним елементом (перестановка $ab(x)=\mathrm {id}$, що залишає елементи на своїх місцях). Якщо $ab=ba$ то можна стверджувати, що $\mathrm {ord} (ab)$ ділить найменше спільне кратне чисел $\mathrm {ord} (a)$ і $\mathrm {ord} (b)$. Як наслідок, у скінченій абелевій групі порядок будь-якого елемента ділить максимальний порядок елементів групи.

Підрахунок за порядком елементів

Для даної скінченної групи $G$ порядку $n$, кількість елементів із порядком $d$ ($d$ — дільник $n$) кратна $\varphi (d)$, де $\varphi$ — функція Ейлера, що дає число додатних чисел, які не перевищують $d$ та взаємно прості з ним. Наприклад, у випадку $S_{3}$$\varphi (3)=2$, і є рівно два елементи порядку 3; при цьому дане твердження не дає жодної корисної інформації щодо елементів порядку 2, оскільки $\varphi (2)=1$, і дуже обмежену інформацію про складені числа, такі як $d=6$, оскільки $\varphi (6)=2$, і в групі $S_{3}$ є нуль елементів порядку 6.

Зв'язок із гомоморфізмами

Гомоморфізми груп мають властивість знижувати порядок елементів. Якщо $f:G\to H$ є гомоморфізмом, та $g\in G$ — елемент скінченного порядку, то $\mathrm {ord} (f(g))$ ділить $\mathrm {ord} (g)$. Якщо $f$ ін'єктивне, то $\mathrm {ord} (f(g))=\mathrm {ord} (g)$. Цей факт можна використати для доведення відсутності (ін'єктивного) гомоморфізму між двома заданими групами. (Наприклад, немає нетривіального гомоморфізму $h:S_{3}\to \mathbb {Z} _{5}$, оскільки будь-яке число, за винятком нуля, в $\mathbb {Z} _{5}$ має порядок 5, а 5 не ділить жодного з порядків 1, 2 та 3 елементів $S_{3}$.) Іншим наслідком є твердження, що спряжені елементи мають однаковий порядок.

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А.Г. Теория групп. — Москва : Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN ISBN 5-02-014426-6.