В алгебричній геометрії абстрактний алгебричний многовид називається повним, якщо він є відокремлюваним (тобто діагональ є замкнутою підмножиною у ), і якщо для будь-якого многовида проєкція із добутку алгебричних многовидів із топологією Зариського на другий множник є замкнутим морфізмом, тобто образ довільної замкнутої множини теж є замкнутою множиною. Повні многовиди є певною мірою аналогом в алгебричній геометрії компактних просторів.
Замкнутий підмноговид повного многовида теж є повним многовидом.
Прямий добуток повних многовидів теж є повним многовидом.
Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли всі його незвідні компоненти є повними.
Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді коли для всіх проєкція є замкнутим морфізмом.
Нехай спочатку — афінний многовид, тобто замкнена підмножина деякого афінного простору. Тоді будь-яка замкнена підмножина також замкнена в , отже, замкнена в .
Далі, для будь-якого многовиду існує відкрите покриття , де — афінні многовиди. Якщо — замкнена підмножина в , то , де , і . З попереднього, кожна є замкнутою в , а тому pr замкнута в . Отже, відображення замкнуте.
Образ повного многовида при регулярному відображенні у відокремлюваний многовид є замкнутою множиною і повним многовидом. Зокрема, регулярна функція на повному зв'язаному многовиді є константою.
Оскільки замкнута підмножина повного многовида є повною достатньо довести, що образ є замкнутим в . Позначимо через графік відображення : . Оскільки є відокремлюваним многовидом то цей графік є замкнутою множиною. Тому теж є замкнутою множиною.
Оскільки є замкнутою множиною алгебричного многовида, то він теж є алгебричним многовидом. Тоді, ввівши морфізм , для довільної замкнутої множини множина є замкнутою у і , де кожна проєкція визначена на відповідній множині. Оскільки є повним многовидом то , а тому і є замкнутою множиною.
Нехай — регулярна функція. Ототожнюючи з , можна розглядати як морфізм у . Отже, є замкнутою множиною, що не збігається з усім , і тому . Тоді (диз'юнктне об'єднання прообразів). Оскільки всі замкнені, а зв'язаний, , тобто є константою.
Якщо квазіпроективний многовид є повним, то він є проективним.
Простий наслідок попередньої властивості, адже образ морфізму включення має бути замкнутою множиною.
Над полемкомплексних чисел алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли він є компактним у класичній топології.
Теорема Нагати: Будь-який відокремлюваний многовид є ізоморфнимвідкритому підмноговиду деякого повного многовида.
Лема Чжоу. Повний многовид є образом деякого проективного многовида при сюр'єктивному біраціональному морфізмі.
Проєкція не є замкнутою. Образом гіперболи є множина що не є замкнутою. Тому афінна пряма не є повною. Також це випливає з того, що афінна пряма є квазіпроективним многовидом але не є проективним.
Натомість довільний проективний многовид завжди є повним.
Враховуючи властивості повних многовидів достатньо лише довести, що проєкція є замкнутою. Позначимо однорідні координати в через , а координати в через . Нехай — замкнута підмножина у . Вона є множиною спільних нулів множини многочленів , які є однорідними по змінних . Точка належить до тоді й лише тоді, коли існує точка , така що , тобто для всіх . Отже, тоді й лише тоді, коли , де . По проективній Теоремі Гільберта про нулі, це означає, що для деякого , тобто кожен одночлен степеня може бути представлений у вигляді для деяких однорідних многочленів . Позначимо через векторний простір всіх однорідних многочленів степеня з . Остання умова означає, що множина де пробігає всі одночлени степеня породжує , або, що те саме, , де — матриця, рядки якої складаються з коефіцієнтів усіх можливих (записаних у заданому порядку). Позначимо . Оскільки завжди , остання умова означає, що принаймні один мінор ненульовий. Коефіцієнти матриці — многочлени від , отже, множина , відкрита в . Тому множина є також відкритою. Але , отже, є замкнутою.
Хоча більшість повних многовидів, що зустрічаються на практиці є проективними, існують і непроективні повні многовиди. Візьмемо спочатку і роздуємо на ньому точку . Після цього одержується лінійчата поверхня з одним виродженим шаром над 0, який складається з двох компонент і ізоморфних .
Тепер візьмемо ще один екземпляр такої поверхні з виродженим шаром і склеїмо з , ототожнюючи криву з шаром і з шаром .
Отримана поверхня , складається з двох компонент і , кожна з яких є проективною, тому є повним многовидом. Однак не можна вкласти в .
В іншому випадку, візьмемо гіперплощину , яка трансверсально перетинає відповідно в точках. Так як шар «неперервно деформується» в шар , ми отримуємо . Аналогічно звідки . Це означає, що гіперплощина не перетинається з кривими , тобто вони лежать в . Але — афінний многовид і він не може містити повних кривих.
Будь-яка гладка повна крива і гладка повна поверхня є проективними. В розмірності три існують гладкі повні непроективні многовиди.