Пентація

Пентація (гіпер-5) — ітераційна операція тетрації; подібно до того як тетрація є операцією ітераційного піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін пентація, складається зі слів пента- (п'ять) та ітерація, був уперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році.

Нотація

Пентація може бути записана як гіпероператор $a[5]b$, або в нотації Кнута як $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ чи $a\uparrow ^{3}b$. А також у нотації Конвея як $a\rightarrow b\rightarrow 3$.

Пентація як гіпероператор 5

Пентація є п'ятою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   $a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}$

2. множення:

   $a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$

3. піднесення до степеня:

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

4. тетрація:

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

5. пентація:

   ${_{n}a}=\underbrace {^{^{^{^{a}\cdot }\cdot }a}a} _{n}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Приклади

Результат пентації можна отримати з четвертого стовпця таблиці значень функції Акермана: якщо $A(n,m)$ визначена рекурентно, як $A(m-1,A(m,n-1))$ з початковими умовами $A(1,n)=an$ та $A(m,1)=a$, тоді $a\uparrow \uparrow \uparrow b=A(4,b)$.

• $1\uparrow ^{3}b=1$
• $a\uparrow ^{3}1=a$

Додатково можна визначити:

• $a\uparrow ^{3}0=1$
• $a\uparrow ^{3}-1=0$

Для невеликих натуральних чисел:

• $2\uparrow ^{3}2={^{2}2}=2^{2}=4$
• $2\uparrow ^{3}3={^{^{2}2}2}={^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536$
• $2\uparrow ^{3}4={^{^{^{2}2}2}2}={^{65,536}2}=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)$
• $3\uparrow ^{3}2={^{3}3}=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3\uparrow ^{3}3={^{^{3}3}3}={^{7,625,597,484,987}3}=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
• $4\uparrow ^{3}2={^{4}4}=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$
• $5\uparrow ^{3}2={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$

Джерела

• Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12: 123–129, MR 0022537