Гіпероператор

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

$(~S,\;+,\;\times ,\;\uparrow ,\;\uparrow \uparrow ,\;\dots ,\;\uparrow ^{n-2})$

Був запропонований англійським математиком Рубеном Гудштейном.

Визначення

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій $H_{n}:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ з індексом $n\in \mathbb {N}$ визначається рекурсивно:

$H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&n=0\\a&n=1,b=0\\0&n=2,b=0\\1&n\geq 3,b=0\\H_{n-1}{\big (}a,\,H_{n}(a,b-1){\big )}&\end{cases}}$

Ця рекурсивна формула узагальнює послідовність формул:

$~H_{1}(a,b)=a+b=1+(a+(b-1)$

$~H_{2}(a,b)=a\times b=a+(a\times (b-1))$

$~H_{3}(a,b)=a^{b}=a\times (a^{(b-1)})$

Приклади

$~H_{0}(a,b)=b+1$ (наступний елемент),

$~H_{1}(a,b)=a+b$ (додавання),

$~H_{2}(a,b)=a\times b$ (множення),

$~H_{3}(a,b)=a^{b}$ (піднесення до степеня),

$~H_{4}(a,b)=\;^{b}a$ (тетрація)

$~H_{5}(a,b)=\;_{b}a$ (пентація)

Позначення

Назва	Позначення для $~H_{n}(a,b)$
нотація Кнута	$~a\uparrow ^{n-2}b$
нотація Конвея	$~a\rightarrow b\rightarrow (n-2)$
позначення Гудштейна	$~G(n,a,b)$
	$~{\mbox{hyper}}(a,n,b)$
	$~a\otimes ^{n}b$
	$a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b$
	$~a{}^{(n)}b$
	$~a{}_{(n)}b$
	$~a[n]b$

Див. також

• Функція Акермана

Посилання

• Home of Tetration