Напівпроста алгебра Лі

Напівпроста алебра Лі — алгебра Лі, що є прямою сумою своїх простих некомутативних ідеалів, тобто ідеалів, що є простими алгебрами Лі (тобто не містять нетривіальних ідеалів). Значення напівпростих алгебр Лі пояснюється зокрема тим, що згідно теореми Леві кожна алгебра Лі над полем характеристики 0 є прямою сумою свого радикала (максимального розв'язного ідеала) і напівпростої підалгебри.

Також для напівпростих алгебр Лі існує досить проста класифікація (особливо для алгебрично замкнутих полів) і добре розвинута теорія представлень, зокрема класифікація скінченновимірних представлень.

Комплексні напівпрості алгебри Лі відіграють ключову роль у класифікації компактних груп Лі і їх скінченновимірних представлень.

Історія

Напівпрості алгебри Лі над полем $\mathbb {C}$ були вперше розглянуті в роботах Вільгельма Кіллінга, який дав їх класифікацію, хоча в його доведеннях були прогалини, заповнені Елі Картаном. Уже в роботах Кіллінга і Картана з'явилися корені алгебри Ля як характеристичні числа оператора ad X. Елі Картан дав також класифікацію дійсних напівпростих алгебр Лі, встановивши глибокий зв'язок між цими алгебрами і глобально симетричними рімановими просторами.

Означення

Надалі розглядаються скінченновимірні напівпрості алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем k характеристики 0. Скінченновимірна алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є напівпростою тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з еквівалентних умов:

• ${\mathfrak {g}}$ не містить ненульових абелевих ідеалів;
• алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ не має ненульових розв'язних ідеалів;
• форма Кіллінга алгебри ${\mathfrak {g}}$ є невирожденою (це твердження називається критерієм Картана);
• радикал (максимальний розв'язний ідеал) алгебри ${\mathfrak {g}}$ є рівним нулю;
• будь-яке скінченновимірне лінійне представлення алгебри є цілком звідним (інакше кажучи всякий скінченновимірний ${\mathfrak {g}}$-модуль є напівпростим). Дане твердження називається теоремою Вейля;
• одновимірні когомології алгебри ${\mathfrak {g}}$ зі значеннями в будь-якому скінченновимірному ${\mathfrak {g}}$-модулі є тривіальними.

Властивості

• Будь-який ідеал і будь-яка факторалгебра напівпростої алгебри Лі також є напівпростими.
• Розклад напівпростої алгебри Лі в пряму суму неабелевих простих ідеалів є єдиним.
• Центр алгебри ${\mathfrak {g}}$ є рівним нулю (оскільки центр алгебри Лі є комутативним ідеалом).
• Всі диференціювання напівпростої алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ (тобто лінійні відображення $A:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ для яких $A[X,Y]=[AX,Y]+[X,AY]$) є внутрішніми, тобто мають вигляд $\operatorname {ad} _{X},\;X\in {\mathfrak {g}}$. Окрім того $\operatorname {ad}$ є ізоморфізмом алгебр Лі ${\mathfrak {g}}$ і $\operatorname {Der} {\mathfrak {g}}.$ Ця алгебра є алгеброю Лі алгебричної групи всіх автоморфізмів алгебри ${\mathfrak {g}}$ і тим самим алгебричною алгеброю Лі.
• Властивість напівпростоти алгебри Лі зберігається як при розширенні, так і при звуженні основного поля.
• Елемент $X\in {\mathfrak {g}}$ називається напівпростим (нільпотентним), якщо $\operatorname {ad} _{X}$ є напівпростим (відповідно нільпотентним) лінійним оператором. Ця властивість елемента X зберігається при будь-якому гомоморфізмі алгебри в іншу напівпросту алгебру Лі. Якщо $X\in {\mathfrak {g}}$, то розклад Жордана — Шевальє лінійного відображення $\operatorname {ad} _{X}$ має вигляд

$\operatorname {ad} _{X}=\operatorname {ad} _{S}+\operatorname {ad} _{N}.$

S і N є однозначно визначеними елементами ${\mathfrak {g}}$ і N є нільпотентним, S є напівпростим, до того ж [N,S] = 0. Для будь-якого скінченновимірного представлення ρ алгебри ${\mathfrak {g}}$ розклад Жордана — Шевальє ρ(x) має вигляд:

$\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,$

де S і N ті ж елементи, що і для приєднаного представлення. Такий однозначний розклад для всіх представлень може не обов'язково існує для загальних алгебр Лі.

Ваги і корені

При вивченні напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k суттєву роль відіграють корені напівпростої алгебри Лі, які визначаються наступним чином. Нехай ${\mathfrak {h}}$ — підалгебра Картана алгебри ${\mathfrak {g}}.$ Для ненульової лінійної функції $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}$ можна ввести лінійний підпростір ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$:

${\mathfrak {g}}_{\alpha }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X,\;\forall H\in {\mathfrak {h}}\}.$

Ненульова функція $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}$ називається коренем якщо підпростір ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ є ненульовим. Множина всіх коренів називається системою коренів алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ і позначається R. Множина R є скінченною і

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in R}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.$

Властивості

• Лінійною оболонкою множини R є ${\mathfrak {h}}^{*}$ і R є зведеною системою коренів в абстрактному сенсі (в лінійній оболонці системи над полем дійсних чисел). Система є незвідною тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {g}}$ є простою.
• Для будь-якого $\alpha \in R$ розмірність просторів ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ і $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]$ є рівною одиниці. Існує єдиний елемент $H_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ для якого $\alpha (H_{\alpha })=2.$
• Для кожного ненульового $X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ існує єдиний $Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },$ що $[X_{\alpha },Y_{\alpha }]=H_{\alpha }.$ До того ж:

$[H_{\alpha },X_{\alpha }]=2X_{\alpha },\quad [H_{\alpha },Y_{\alpha }]=2Y_{\alpha },$

$\beta (H_{\alpha })=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}},\;\forall \alpha ,\beta \in R.$

де $(\cdot ,\cdot )$ — скалярний добуток породжений формою Кіллінга.

• Якщо $\alpha ,\beta \in R,\;\;\alpha +\beta \neq 0$ то підпростори ${\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }$ є ортогональними щодо форми Кіллінга і $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]={\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }.$
• Напівпрості алгебри Лі визначаються з точністю до ізоморфізму своєю підалгеброю Картана і відповідною системою коренів. Якщо ${\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}$ — напівпрості алгебри Лі над полем $k$ із підалгебрами Картана ${\mathfrak {h}}_{1},{\mathfrak {h}}_{2}$ і системами коренів $R_{1},R_{2},$ то всякий ізоморфізм ${\mathfrak {h}}_{1}$ і ${\mathfrak {h}}_{2},$ що індукує ізоморфізм відповідних систем коренів продовжується до ізоморфізму ${\mathfrak {g}}_{1}$ і ${\mathfrak {g}}_{2}.$ З іншого боку, будь-яка зведена система коренів може бути реалізована як система коренів деякої напівпростої алгебри Лі.

Класифікація напівпростих алгебр Лі

Для алгебрично замкнутих полів

Класифікація напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k по суті збігається з класифікацією зведених систем коренів.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів $A_{n}-D_{n}$ називаються класичними і мають такий вигляд.

• $A_{n},\;n\geqslant 1:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}$, алгебра лінійних перетворень простору $k^{n+1}$ зі слідом 0.
• $B_{n}:\;n\geqslant 2$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}$, алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n+1}$, кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.
• $C_{n}:\;n\geqslant 3$ ${\mathfrak {sp}}_{n}$, алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n},$ кососиметричних щодо заданої невиродженої кососиметричної білінійної форми.
• $D_{n}:\;n\geqslant 4$ ${\mathfrak {so}}_{2n}$, алгебра лінійних перетворень простору $k^{2n},$ кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів E₆, E₇, Е₈, F₄, G₂ називаються особливими, або винятковими.

Для довільних полів

Класифікація розщеплених напівпростих алгебр Лі (тобто напівпростих алгебр Лі для яких існує така підалгебра Картана ${\mathfrak {h}},$ що всі характеристичні числа операторів $\operatorname {ad} _{X},\ X\in {\mathfrak {h}}$ належать k) над довільним полем k характеристики 0 є аналогічною випадку алгебрично замкнутого поля. А саме, кожній незвідній системі коренів відповідає єдина розщеплена напівпроста алгебра Лі. Зокрема, розщеплені напівпрості алгебри Лі типів $A_{n}-D_{n}$ мають зазначений вище вид з тією різницею, що в випадках $B_{n}$ і $D_{n}$ треба розглядати невироджені симетричні білінійні форми індексу Вітта n.

Проблема класифікації довільних напівпроста алгебра Лі над k зводиться до такої задачі: перерахувати з точністю до ізоморфізму всі k-форми ${\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}}$ тобто такі k-підалгебри ${\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}},$ що ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{k}K={\mathfrak {g}},$ де K — алгебрично замкнуте розширення поля k, а ${\mathfrak {g}}$ — напівпроста алгебра Лі над K. Розв'язок цієї задачі також можна отримати в термінах систем коренів.

Класифікація дійсних алгебр Лі

Будь-яка проста неабелева алгебра Лі над полем $\mathbb {R}$ або є простою алгеброю Лі над полем $\mathbb {C}$ (що розглядається як алгебра над $\mathbb {R}$), або є дійсною формою простої алгебри Лі над $\mathbb {C}$. Класифікація дійсних форм в простих класичних алгебрах Лі над $\mathbb {C}$ має такий вигляд.

• $A_{n},\;n\geqslant 1:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} )$

• $A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {R} )$
• $A_{II}:n+1=2m,\;{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{n+1}^{*}(\mathbb {R} )$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {sl}}_{2m}(\mathbb {C} ),$ що зберігають деяку кватерніонну структуру
• $A_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{(p,n+1-p)}$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} ),$ які є кососиметричними щодо невиродженої ермітової форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant (n+1)/2$.

• $B_{n}:\;n\geqslant 2$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbb {C} )$

• $A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n+1,-p}(\mathbb {R} )$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n+1},$ які є кососиметричними щодо невиродженої симетричної білінійної форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant n$.

• $C_{n}:\;n\geqslant 3$ ${\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )$

• $C_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n},$ які є кососиметричними щодо невиродженої кососиметричної білінійної форми.
• $C_{II}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{(p,n-p)},\;\;1\leqslant p\leqslant (n+1)/2,$ — підалгебра в ${\mathfrak {su}}_{(2p,2(n-p))}$ елементи якої зберігають деяку кватерніонну структуру.

• $D_{n}:\;n\geqslant 4$ ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} )$

• $D_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n-p}$ — алгебра лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{2n},$ які є кососиметричними щодо невиродженої білінійної симетричної форми додатного індексу p, де $1\leqslant p\leqslant n$.
• $D_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{2n}^{*}$ — підалгебра елементів з ${\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} ),$ що зберігають деяку кватерніонну структуру

Див. також

• Алгебра Лі
• Компактна група Лі
• Підалгебра Картана
• Редуктивна алгебра Лі
• Розв'язна алгебра Лі
• Форма Кіллінга

Література

• Dobrev, V. K. (2016). Noncompact Semisimple Lie Algebras and Groups. De Gruyter studies in mathematical physics. De Gruyter. ISBN 9783110427646.
• Goto, Morikuni; Grosshans, Frank D. (1978). Semisimple Lie algebras. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-6744-6.
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Arkady L. Onishchik (2003). Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations. ESI Lectures in Mathematics & Physics. European Mathematical Society. ISBN 9783037190029.
• John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN 9780521213400
• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0