Ортогональність (математика)

Ортогональність (від грец. ὀρθός — прямий і грец. γωνία — кут) — термін, яким позначають перпендикулярність векторів.

Лінійні відрізки AB і CD є ортогональними один до одного.

Визначення

Нехай $R$ — прегільбертів простір. Елементи $x\in R$, $y\in R$ називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто $\langle x,y\rangle =0$; що позначається $x\perp y$.

Множина векторів називається ортогональною, якщо довільна пара з цієї множини ортогональна. Якщо всі вектори цієї множини одиничні, то вона називається множиною ортнормованих векторів. Не-нульові ортогональні вектори лінійно незалежні.

Якщо для системи векторів $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ простору $R$ визначник Грамма дорівнює 0, то ці вектори лінійно залежні.

В Евклідовому просторі

В 2- або 3- вимірному Евклідовому просторі два вектори ортогональні, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто кут між ними 90° або π/2 радіан. Таким чином, ортогональність векторів є узагальненням перпендикулярності.

В Евклідових підпросторах ортогональним доповненням прямої є площина, і навпаки.

Ортогональні функції

Дві дійсні функції $f(x)$ та $g(x)$ є ортогональними одна щодо одної у інтервалі $a\leq x\leq b,$ якщо

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0.$

Аналогією до поняття ортогональності є векторна теорія, де (у трьохвимірному випадку) два вектори $A,B$ є ортогональними, коли

$A\cdot B=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=0.$

У $n$-вимірному просторі вектори ортогональні, якщо $\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=0.$ У $\infty$-вимірному просторі, у якому $A_{i},B_{i}$ мають неперервний розподіл, $i$ є неперервною змінною $f(x),$ таким чином $\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$ переходить у $\int A(x)B(x)dx.$ Поняття функції переводиться таким чином у поняття вектора у $\infty$-вимірному просторі. Інтеграл

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f\cdot g$

визначає скалярний добуток у функціональному просторі. У такому просторі скалярний (внутрішній) добуток визначається так само, як й у скінченних векторних просторах, відповідно, таким самим чином можна визначити ортогональність.

Якщо дана похідна, неперервна на відрізку $(a,b)$, функції $f(x)$ і необхідно розкласти її по набору лінійно незалежних функцій $f_{i}(x),$ для якої існує $\int _{a}^{b}|f_{i}(x)|^{2}dx,$ то можна усереднено апроксимувати її лінійною сукупністю $\sum _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}(x).$ Коефіцієнти підібрати важко, якщо набір є ортонормованим. У процесі ортогоналізації функції $f_{1}(x),f_{2},...,f_{n}(x),...$ замінюється таким самим числом числом нових функцій $\varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),...,$ які є лінійними комбінаціями попередніх функцій, тобто

$\varphi _{n}(x)=c_{1}^{(n)}f_{1}(x)+c_{2}^{(n)}f_{2}(x)+...+c_{n}^{(n)}f_{n}(x).$

Такий алгоритм має назву процесу Грама — Шмідта.

На контурах також можна застосовувати ортогоналізацію. В такому випадку $\int _{a}^{b}$ замінюється на $\int _{C}.$ Функція $\varphi _{1}(x)$ має вигляд $af_{1}(x),$ де $a$ отримується з умови $\int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1.$ Маємо

$\varphi _{1}(x)=f_{1}(x)/[\int _{a}^{b}|f_{1}(x)|^{2}dx]^{1/2}.$

Таким чином, знаходячи перші $n$ функцій $\varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),$ приходимо до функції $\varphi _{n+1}(x),$ яка повинна бути лінійною комбінацією цих функцій, а також функції $f_{n+1}(x).$ Відповідно,

$\varphi _{n+1}(x)=a_{1}\varphi _{1}(x)+a_{2}\varphi _{2}(x)+...+a_{n}\varphi _{n}(x)+f_{n+i}(x)$ - цей вираз можна помножити на $\varphi _{i}(x)$ й проінтегрувати отриманий вираз

$a_{i}+a\int _{a}^{b}f_{n+1}(x)\varphi _{i}(x)dx=0.$

Умова $\int _{a}^{b}\varphi _{1}^{2}dx=1$ дає $a.$ Щоб послідовно обчислити $\varphi _{1}(x),\varphi _{2},...,\varphi _{n}(x),$ можна застосувати рівняння

$\varphi _{n+1}(x)={\frac {f_{n+1}(x)\sum _{i=1}^{n}[\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}dx]\varphi _{i}(x)}{\{\int _{a}^{b}[f_{n+1}(x)-\sum _{i=1}^{n}(\int _{a}^{b}f_{n+1}\varphi _{i}\,dx)\varphi _{i}(x)]^{2}dx\}^{1/2}}}.$

Або через визначники можна записати

$\varphi _{n}(x)={\frac {\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n-1})&f_{1}(x)\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n-1})&f_{2}(x)\\...&...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n-1})&f_{n}(x)\end{vmatrix}}{(\Delta _{n-1}\cdot \Delta _{n})^{1/2}}},$

де $\Delta _{n}$- Визначник Грама для функції $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

$\Delta _{n}={\begin{vmatrix}(f_{1}\cdot f_{1})&(f_{1}\cdot f_{2})&...&(f_{1}\cdot f_{n})\\(f_{2}\cdot f_{1})&(f_{2}\cdot f_{1})&...&(f_{2}\cdot f_{n})\\...&...&...&...\\(f_{n}\cdot f_{1})&(f_{n}\cdot f_{2})&...&(f_{n}\cdot f_{n})\end{vmatrix}}.$

Функції $f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)$ є лінійно незалежними, якщо визначник дорівнює нулю.

Див. також

• Перпендикулярність
• Базис (математика)
• Ряд Фур'є, Ряд Тейлора
• Ортогональність (хімія)