Модулярна група

Модулярна група — група $\Gamma$ всіх дробово-лінійних перетворень виду

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

де $a,\;b,\;c,\;d$ — цілі числа, причому $\ ad-bc=1$.

Модулярна група ототожнюється з факторгрупою $SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\}$. Тут $SL(2,\;\mathbb {Z} )$ — спеціальна лінійна група.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

де $a,\;b,\;c,\;d$ — цілі числа $\ ad-bc=1$.

Властивості

Модулярна група є дискретною групою перетворень верхньої комплексної півплощини $H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\}$ і допускає подання твірними:

$S:z\mapsto -1/z,$

$T:z\mapsto z+1$

і співвідношеннями $S^{2}=(ST)^{3}=1$, тобто є вільним добутком циклічної групи порядку 2, породженої $S$, і циклічної групи порядку 3, породженої $ST$.

Для довільного перетворення $g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$ з модулярної групи справедлива рівність:

$\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)$

Оскільки уявна частина $z$ ненульова, а числа $c$ і $d$ — цілі, не рівні нулю одночасно, то величина $|cz+d|^{2}$ відокремлена від нуля (не може бути як завгодно малою). Це означає, що в орбіті будь-якої точки є така, на якій уявна частина досягає свого максимуму.

Фундаментальна область

Фундаментальна область (канонічна) модулярної групи — це замкнута область

$D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.$

Легко перевірити, використовуючи (1), що перетворення модулярної групи не збільшують уявну частину точок з $D$. З цього виходить, що для того, щоб дві точки $z,\;g(z)$ належали $D$, їх уявна частина повинна бути однакова: $|cz+d|^{2}=1$. Таким умовам відповідають наступні перетворення і точки:

1. $g(z)=z,\;z$ — будь-яка точка;
2. $g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} ,z=1/2;$
3. $g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} ,z=-1/2;$
4. $g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

Зокрема, всі точки області $D$ мають тривіальний стабілізатор, окрім трьох:

1. $\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
2. $\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
3. $\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Крім того, з цього випливає що при факторизації верхньої півплощини по дії модулярної групи внутрішні точки $D$ відображаються ін'єктивно, тоді як граничні — склеюються з точками, «дзеркальними» до них відносно прямої $\mathrm {Re} \,z=0$.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0