Внутрішня точка

Внутрішня точка, у топології — це точка, яка входить у дану множину разом з деяким своїм околом.

Точка Х є внутрішньою для множини S, а точка У — ні, оскільки будь-який її окіл виходить за межі множини S.

Інтуїтивно внутрішня точка - це точка, яка не перебуває на краю.

Визначення

Нехай $X$ — топологічний простір з топологією $T$, і $M\subseteq X$. Точка $x\in M$ є внутрішньою для $M$ тоді і тільки тоді, коли існує відкрита множина $S\in T$, така що $x\in S$ та $S\subseteq M$.

Зауваження

• З визначення відразу виходить, що у відкритій множині всі точки внутрішні.
• Також вірно і зворотне: множина, всі точки якої внутрішні, є відкритою.

Окремі випадки

У метричному просторі визначення внутрішньої точки приймає наступний вигляд. Хай X — метричний простір з метрикою d, і M — його підмножина. Точка є внутрішньою для M тоді і тільки тоді, коли існує $\varepsilon >0$, таке що $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$. Інакше кажучи, x входить в M разом з кулею радіусу $\varepsilon$ з центром в x.

Дивись також

• Ізольована точка
• Гранична точка
• Відкрита множина
• Окіл
• Внутрішність

Посилання

стаття на PlanetMath [Архівовано 12 червня 2019 у Wayback Machine.]