Метод чергування Шварца
У математиці метод чергування Шварца або процес чергування - це ітеративний метод, запроваджений у 1869-1870 рр. Германом Шварцом у теорії конформного відображення . При даних двох площинах,що накладаючись утворюються деяку складну площину, у кожній з яких можна було вирішити задачу Діріхле, Шварц описав ітеративний метод розв’язання задачі Діріхле в їх об'єднанні за умови, що їх перетин відповідає певному ряду вимог. Це був один із декількох методі побудови конформного відображення, розроблений Шварцом як внесок у задачу уніфікації, поставлену Ріманом у 1850-х роках і вперше точно розв'язати дану задачу змогли Кобі та Пуанкаре в 1907 році. Розв'язок містив схему для уніфікації об'єднання двох регіонів,якщо відомо, як уніфікувати кожну з них окремо, за умови, що їх перетин був топологічно диском або кільцем. З 1870 року Карл Нойман також сприяв цій теорії.
У 1950-х роках метод Шварца був узагальнений в теорії часткових диференціальних рівнянь до ітеративного методу пошуку розв'язку для еліптичної крайової задачі на області, яка є об'єднанням двох площин, що перекриваються. Він включає вирішення крайової задачі на кожному з двох окремих об'єктів (площин) по черзі, при цьому останні отриманні значення кожної ітерації стають граничними умовами для наступної. Він використовується в чисельному аналізі під назвою мультиплікативний метод Шварца (на противагу адитивному методу Шварца ) як метод декомпозиції задачі .
Історія ред.
Вперше ця задача була сформульований Г. А. Шварцом [1] і вона ж послужила теоретичним інструментом для наближення до загального розв'язку еліптичних часткових диференціальних рівнянь другого порядку,сам розв'язок було вперше доведено значно пізніше, у 1951 році, Соломоном Міхліном . [2]
Алгоритм ред.
Оригінальна задача, яку розглядав Шварц, була задача Діріхле (з рівнянням Лапласа ) щодо області, що складається з кола і частково накладається із квадратом. Щоб вирішити задачу Діріхле на одному з двох об'єктів (квадрат або коло), значення рішення має бути відоме на кордоні : оскільки частина межі міститься в іншому об'єкті, задачу Діріхле необхідно вирішити спільно на двох одночасно. Через це введено ітеративний алгоритм:
- Зробити першу спробу вгадати розв’язок на дузі кола, яка міститься у квадраті
- Розв'язати задачу Діріхле на колі
- Використати рішення в (2) для наближення розв’язку на межі квадрата
- Розв’язати задачу Діріхле на квадраті
- Використати розв'язок у (4) для наближення рішення до межі кола, а потім перейти до кроку (2).
При наближенні розв'язків до перекритої частини,вони будуть однакові чи ми почали з квадрата чи з кола.
Оптимізовані методи Шварца ред.
Швидкість зближення залежить як від величини перекриття між об'єктами, так і від граничних умов задачі. Підвищити швидкість зближення методів Шварца можна, вибравши відповідні граничні умови: ці методи називають оптимізованими методами Шварца. [3]
Дивись також ред.
- Теорема уніфікації
- Похідна Шварца
- Карта трикутника Шварца
- Принцип відбиття Шварца
- Адитивний метод Шварца
Примітки ред.
- ↑ See his paper (Schwarz, 1870b)
- ↑ See the paper (Mikhlin, 1951): a comprehensive exposition was given by the same author in later books
- ↑ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods
Список літератури ред.
Оригінальні джерела
- Schwarz, H.A. (1869), Über einige Abbildungsaufgaben, J. Reine Angew. Math., 1869 (70): 105—120, doi:10.1515/crll.1869.70.105
- Schwarz, H.A. (1870a), Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen, Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767—795
- Schwarz, H. A. (1870b), Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272—286, JFM 02.0214.02
- Neumann, Carl (1870), Zur Theorie des Potentiales, Math. Ann., 2 (3): 514, doi:10.1007/bf01448242
- Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
- Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (вид. 2nd), Teubner
Конформне відображення та гармонічні функції
- Nevanlinna, Rolf (1939), Über das alternierende Verfahren von Schwarz, J. Reine Angew. Math., 180: 121—128
- Nevanlinna, Rolf (1939), Bemerkungen zum alternierenden Verfahren, Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500—508, doi:10.1007/bf01696203
- Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, т. 64, Springer
- Sario, Leo (1953), Alternating method on arbitrary Riemann surfaces, Pacific J. Math., 3 (3): 631—645, doi:10.2140/pjm.1953.3.631
- Morgenstern, Dietrich (1956), Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion, Z. Angew. Math. Mech., 36 (7–8): 255—256, doi:10.1002/zamm.19560360711
- Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, с. 242—262, ISBN 0-486-64025-6 Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, с. 242—262, ISBN 0-486-64025-6 , Розділ 12, Порядок чергування
- Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 1139443097 Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 1139443097
- Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8 Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
- de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3 de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3 , переклад французького тексту
- Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), с. 123—134 (цитується в де-Сен-Жерве)
- Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251 Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251
PDE та чисельний аналіз
- Mikhlin, S.G. (1951), On the Schwarz algorithm, Doklady Akademii Nauk SSSR, n. Ser. (Russian) , 77: 569—571, MR 0041329, Zbl 0054.04204
Зовнішні посилання ред.
- Solomentsev, E.D. (2001), Schwarz alternating method, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4