Матрична функція

Функція матриці — функція, яка відображає одну матрицю у другу матрицю.

Приклади

Приклад 1

Нехай $A$ — симетрична матриця. Існує така ортогональна матриця $Q$, що перетворення подібності

$Q^{-1}AQ=J$

приводить її до діагональної форми, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці, а усі інші елементи матриці — нулі. За допомогою такого перетворення можна отримувати функції від матриць.

Нехай

$f(\lambda )=f_{0}+f_{1}\lambda +{\frac {1}{2}}f_{2}\lambda ^{2}+...$

- аналітична функція $\lambda$ в околі точки 0. Тоді, якщо усі власні значення матриці $A$ лежать у цьому околі, можна визначити матрицю

$f(A)=f_{0}I+f_{1}A+{\frac {1}{2}}f_{2}A^{2}+...,$

де $A$ — симетрична матриця. Скористуймося перетворенням подібності, визначеним вище:

$Q^{-1}f(A)Q=f_{0}Q^{-1}IQ+f_{1}Q^{-1}AQ+{\frac {1}{2}}f_{2}Q^{-1}AQ\cdot Q^{-1}AQ+...=f_{0}If_{1}J+{\frac {1}{2}}f_{2}J^{2}+...$

Помноживши ліворуч на матрицю $Q$, а праворуч на $Q^{-1}$, отримаємо

$f(A)=Q(f_{0}I+f_{1}J+{\frac {1}{2}}f_{2}J^{2}+...)Q^{-1}.$

Приклад 2

Нехай задані дві матриці $A,B$, для кожної з яких відомі матриці перетворення подібності, які переводять кожну з них до діагонального вигляду. Перетворення подібності для їх суми $A+B$ невідоме, як і факт наявності або відсутності приєднаних векторів, а необхідно знайти матрицю $e^{A+B}t$, не застосовуючи накопичуваної помилки побудови ряду, в якому бере участь багатократне перемноження матриць. Можна знайти окремо матриці $e^{At}$ та $e^{Bt}$. Спробуймо визначити, чи є справедливою рівність

$e^{At}e^{Bt}=e^{A+B}t.$ (1)

Використовуючи ряди Тейлора,

$e^{At}e^{Bt}=e^{(A+B)t}+{\frac {t^{2}}{2}}[A,B]+...,$

де

$[A,B]=AB-BA$ (2)

називається антикомутатором матриць $A,B$.

Необхідною умовою виконання рівності (1) є переставність матриць $A,B$, тобто рівність нулю комутатора (2). Відзначмо, що комутатор є антисиметричним відносно перестановки матриць

$[A,B]=-[B,A]$.

Можна скористатися цією властивістю для апроксимації оператора $e^{(A+B)t}$ у вигляді добутку операторів виду $e^{At}$ та $e^{Bt}$. Розгляньмо добуток

$U(t)=e^{At/2}e^{Bt}e^{At/2}=e^{At/2}e^{Bt/2}e^{Bt/2}e^{at/2}=e^{(A+B)t}+{\frac {t^{3}}{24}}[A+2B,[A,B]]+...$

Тут ми скористалися зміною знаку комутатора при перестановці операторів й відкинули член із парним степенем $t^{2}$ у виразі для помилки апроксимації. Щоб ще раз підвищити порядок апроксимації, треба відкинути член з непарним степенем $t,$ оператор при якому складається із суми парної $({\frac {1}{2}}[B-A,[A,B]])$ та непарної $({\frac {3}{2}}[A+B,[A,B]])$ відносно перестановки операторів $A$ та $B$ частин. Для цього розгляньмо добуток

$U(t)U(-\alpha t)U(t)=e^{(A+B)(2-\alpha )t}+{\frac {t^{3}}{24}}[A+2B,[A,B]](2-\alpha ^{3})+O(t^{4}).$

При $\alpha =2^{1/3}$ отримаємо апроксимацію порядку $t^{4}$, складену у вигляді добутку семи експонент операторів $A$ та $B$.

Таким чином, якщо ми хочемо відкинути черговий парний член апроксимації, необхідно скористатися зміною місць операторів $A$ та $B$ у вже отриманій конструкції.

Операторна експонента буде знайденою у точці

$\Delta t=(2-\alpha )t$,

де $\alpha =2^{1/3}$.

Див. також

• Матричний многочлен

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Юнавский А. Д. — Моледирование нелинейного уравнения Шредингера.