Ортогональна матриця

Ортогональна матриця — невироджена квадратна матриця $\ A$ (зазвичай із дійсними елементами) така, що

$\ AA^{T}=A^{T}A=I$,

де

$\ A^{T}$ — транспонована матриця до матриці $\ A$,

$\ I$ — одинична матриця,

Еквівалентне твердження:, її обернена матриця дорівнює транспонованій матриці:

$\!A^{-1}=A^{T}.$

Ортогональна матриця є частковим випадком унітарної матриці.

Властивості

• Визначник ортогональної матриці дорівнює $\ \pm 1$.
• Скалярний добуток рядка матриці (чи стовпця) на інший рядок (чи стовпець) дорівнює нулю, а скалярний добуток на самого себе дорівнює одиниці (стовпці й рядки ортогональної матриці утворюють ортонормовані системи).

тобто, для ортогональної матриці $\ A=(a_{ij})$ справедливі формули:

$\ \sum _{i}a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk},\qquad \sum _{i}a_{ji}a_{ki}=\delta _{jk},$

де $\ \delta _{jk}$ — символ Кронекера.

• Ортогональні матриці відповідають лінійним операторам, що переводять ортонормований базис векторного простору в ортонормований.
• Довільна дійсна ортогональна матриця подібна блочно-діагональній матриці з блоками виду

$\ (\pm 1),\qquad {\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

• Ортогональні матриці порядку $n$ над полем $k$ утворюють групу за множенням. Це ортогональна група, що позначається $\ O_{n}(k)$ (якщо $\ k$ опущено — вважається $k=\mathbb {R}$).

Розклад матриці

• Ортогональна матриця з визначником +1 є матрицею повороту.
• Ортогональну матрицю з визначником -1 можна подати у вигляді добутку двох матриць: матриці повороту на матрицю симетрії відносно (гіпер)площини (перетворення Хаусхолдера).

Див. також

• Теорія матриць
• Унітарна матриця
• Перетворення Келі

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)