Лінійна рекурентна послідовність

Лінійною рекурентною послідовністю (лінійною рекурентою) називається будь-яка числова послідовність $x_{0},x_{1},\dots$, задана лінійним рекурентним співвідношенням:

$x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{n-d}$ для всіх $n\geqslant d$

з заданими початковими членами $x_{0},\dots ,x_{d-1}$, де d — фіксоване натуральне число, $a_{1},\dots ,a_{d}$ — задані числові коефіцієнти, $a_{d}\neq 0$. При цьому число d називається порядком послідовності.

Лінійні рекурентні послідовності іноді називають поворотними послідовностями.

Теорія лінійних рекурентних послідовностей є точним аналогом теорії лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Приклади

Частковими випадками лінійних рекурентних послідовностей є послідовності:

• арифметична прогресія
• геометрична прогресія
• числа Фібоначчі
• числа Люка
• числа трибоначчі
• послідовності Люка

Формула загального члена

Для лінійних рекурентних послідовностей існує формула, яка виражає загальний член послідовності через корені її характеристичного многочлена

$\lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}.$

А саме, загальний член виражається у вигляді лінійної комбінації $d$ послідовностей виду

$x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},$

де $\lambda _{k}$ — корінь характеристичного многочлена і $m$ — ціле невід'ємне число, що не перевищує кратності $\lambda _{k}$.

Для чисел Фібоначчі такою формулою є формула Біне.

Приклад

Для знаходження формули загального члена послідовності $F_{n}$, що задовольняє лінійне рекурентне рівняння другого порядку $F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2}$ з початковими значеннями $F_{1}$, $F_{2}$, слід розв'язати характеристичне рівняння

$q^{2}-bq-c=0$.

Якщо рівняння має два різні корені $q_{1}$ і $q_{2}$, відмінні від нуля, то для довільних сталих $A$ і $B$, послідовність

$F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},$

задовольняє рекурентне співвідношення; залишається знайти числа $A$ і $B$, такі, що

$F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2}$ і $F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}$.

Якщо ж дискримінант характеристичного рівняння дорівнює нулю і отже, рівняння має єдиний корінь $q_{1}$, то для довільних сталих $A$ і $B$, послідовність

$F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n}$

задовольняє рекурентне співвідношення; залишається знайти числа $A$ і $B$, такі, що

$F_{1}=(A+B)\cdot q_{1}$ і $F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}$.

Зокрема, для послідовності, яка визначається таким лінійним рекурентним рівнянням другого порядку

$F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}$; $F_{1}=1$, $F_{2}=-2$.

коренями характеристичного рівняння $q^{2}-5\cdot q+6=0$ є $q_{1}=2$, $q_{2}=3$. Тому

$F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2}).$.

Остаточно:

$F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}.$

Застосування

Лінійні рекурентні послідовності над кільцями вирахувань традиційно використовуються для генерування псевдовипадкових чисел.

Історія

Основи теорії лінійних рекурентних послідовностей були дані в двадцятих роках вісімнадцятого століття Абрахамом де Муавром і Даніелем Бернуллі. Леонард Ейлер виклав її у тринадцятій главі свого «Вступу до аналізу нескінченно малих» (1748). Пізніше Пафнутій Львович Чебишов і ще пізніше Олександр Олександрович Марков виклали цю теорію в своїх курсах числення скінченних різниць.

Див. також

• Різницеве рівняння

Література

• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. Глава XXV. Линейные рекуррентные последовательности // Алгебра. — Учебник. В 2-x томах. — М. : Гелиос АРВ, 2003. — Т. 2. — ISBN 8-85438-072-2.
• А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
• Чебраков Ю. В. Глава 2.7. Рекуррентные уравнения // Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. — СПб, 2010.