Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Якщо знаменник прогресії дорівнює 1 (одиниці), то прогресія вважається стаціонарною. Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати 0 (нулю). Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена

Позначимо перший член b₁, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b₂= b₁* q, третій — b₃= b₂* q= b₁* q², четвертий — b₄= b₃* q= b₁* q³, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: b_n= b₁q^n-1

Сума

Знайдемо суму перших $n$ членів геометричної прогресії

$S_{n}=a(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,$

Помножимо та поділимо праву частину на $(r-1)\,$ ($r$ не може бути 1), добуток $(1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n-1})\,$ на $(r-1)\,$ дає $(r^{n}-1)\,$, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

$S_{n}=a\sum _{k=0}^{n-1}r^{k}=a{\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

Якщо $\left|r\right|<1$ і $n\to \infty$ то $r^{n}\to 0$, тоді: $S_{n}\to {a \over 1-r}$

Практичне застосування

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також

• Прогресія
• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія
• Ефект снігової кулі

Посилання на сторонні джерела

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010 [Архівовано 7 червня 2013 у Wayback Machine.]

Джерела

• Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»