Коядро (теорія категорій)
В теорії категорій коядро — поняття, двоїсте до ядра. Ядро є підоб'єктом прообразу, а коядро — фактороб'єктом образу.
Означення ред.
Нехай C — категорія з нульовими морфізмами. Тоді коядро морфізма f : X → Y — морфізм q : Y → Q, такий що:
- qof — нульовий морфізм із X у Q;
- Для будь-якого морфізма , такого що — нульовий морфізм, існує єдиний морфізм , такий що наступна діаграма є комутативною:
Як і інші універсальні конструкції, коядро існує не завжди, але якщо існує, то воно є визначеним з точністю до ізоморфізму.
Коядро завжди є епіморфізмом. Навпаки, епіморфізм називається нормальним (іноді — конормальним), якщо він є коядром деякого морфізма. Категорія називається конормальною, якщо будь-який епіморфізм в ній є нормальним.
Приклади ред.
В категорії груп, коядро гомоморфізму груп f : G → H є факторгрупою H по нормальному замиканню образу f. У випадку абелевих груп, оскільки кожна підгрупа є нормальною, coker(f) = H/im(f).
В абелевій категорії образ і кообраз морфізма задаються як
- .
Зокрема, будь-який епіморфізм є своїм власним коядром.
Література ред.
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1998, p. 64