Класифікатор підоб'єктів

У теорії категорій, класифікатор підоб'єктів — спеціальний об'єкт Ω категорії; інтуїтивно, підоб'єкти X відповідають морфізму з X в Ω. Спосіб, у який він «класифікує» об'єкти, можна описати як присвоєння деяким елементам X значення «істина».

Вступний приклад

У категорії множин класифікатором підоб'єктів є множина Ω = {0,1}: кожній підмножині A довільної множини S можна зіставити її характеристичну функцію — функцію з S в Ω, що набуває значення 1 на підмножині A і 0 на її доповненні, і навпаки, будь-яка функція з S в Ω є характеристичною функцією деякої підмножини. Якщо χ_A — деяка характеристична функція на множині S, така діаграма є декартовим квадратом:

Тут true: {0} → {0, 1} — відображення, що переводить 0 в 1.

Визначення

У загальному випадку можна розглянути довільну категорію C, що має термінальний об'єкт, який ми позначатимемо 1. Об'єкт Ω категорії C — класифікатор підоб'єктів C, якщо існує морфізм

1 → Ω

з такою властивістю:

для будь-якого мономорфізму j: U → X існує єдиний морфізм _j: X → Ω, такий що квадрат

: є декартовим, тобто U — границя діаграми.

Морфізм _j називають класифікувальним морфізмом для підоб'єкта, поданого мономорфізмом j.

Див. також

• Топос (математика)

Література

• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.

• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician. — 2nd. — New York, NY : Springer-Verlag, 1998. — Т. 5. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-98403-8.
• Artin Michael, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géometrie Algébrique IV. — Springer-Verlag, 1964.
• Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-387-97710-4.