Границя (теорія категорій)

Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, розшарований кодобуток і індуктивна границя.

Означення ред.

Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу $J$ в категорії $C$ називається функтор:

F : J \to C

.

Найбільший інтерес представляє випадок, коли $J$ є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма $J$ називається малою або скінченною.

Категорію $J$ можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії $C$ подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами.

Нехай $F$ — діаграма типу $J$ в категорії $C$ . Конусом у $F$ називається об'єкт $N$ в $C$ разом з сім'єю морфізмів $ψ X : N \to F (X)$ , індексованих об'єктами $X$ діаграми $J$ , такий що для будь-якого морфізма $f : X \to Y в J$ також $F (f) o ψ X = ψ Y$ .

Границею діаграми $F : J \to C$ називається конус $(L, φ)$ в $F$ такий, що для будь-якого конуса $(N, ψ)$ у $F$ існує єдиний морфізм $u : N \to L$ , такий що $φ X o u = ψ X$ для всіх $X$ в $J$ .

A universal cone

Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально:

Коконус діаграми $F : J \to C$ — об'єкт $N$ категорії $C$ разом з сім'єю морфізмів:

ψ X : F (X) \to N

для кожного $X$ в $J$ , такий, що для будь-якого морфізма $f : X \to Y в J$ виконується $ψ Y o F (f) = ψ X$ .

Кограницею діаграми $F : J \to C$ називається коконус $(L, φ)$ такий , що для будь-якого іншого коконуса $(N, ψ)$ існує єдиний морфізм $u : L \to N$ , такий, що $u oφ X = ψ X$ для всіх $X$ в $J$ .

A universal co-cone

Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму.

Приклади границь ред.

У прикладах розглядається границя $(L, φ)$ діаграми $F : J \to C$ .

Термінальні об'єкти. Якщо $J$ — порожня діаграма, в $C$ існує тільки одна діаграма типу $J$ — порожня. Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента. Границею $F$ є об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта, тобто термінальний об'єкт.
Добутки. Тут $J$ — дискретна категорія (без неодиничних морфізмів), діаграмою типу $J$ є сім'я об'єктів $C$ і границя — їх добуток разом з проєкціями на множники.
Вирівнювач. Тут J — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів, тоді діаграмою типу J є два паралельних морфізма у в C і границя їх вирівнювач.
- Ядро — окремий випадок вирівнювача, де один з морфізмів є нульовим морфізмом.
Розшарований добуток. Тут $J$ складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій.
Якщо $J$ — категорія з одного елемента і тотожного морфізма, то границею є той об'єкт, в який відображається $J$ .
Топологічні границі. Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів, які є пов'язані з категорними границями. В заданому топологічному просторі $X$ розглянемо $F$ — множину фільтрів на $X$ , точку $x \in X, V (x) \in F$ — фільтр околів $x, A \in F$ — деякий конкретний фільтр і $F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}$ — множину фільтрів, що є тоншими, ніж $A$ і сходяться до $x$ . На фільтрах $F$ можна задати структуру категорії, сказавши, що стрілка $A \to B$ існує тоді і тільки тоді, коли $A \subseteq B$ . Вкладення $I_{x,A}:F_{x,A}\to F$ стає функтором і виконується твердження:
$x$ — топологічна границя $A$ тоді і тільки тоді, коли $A$ — категорна границя $I_{x,A}$ . ^[1]

Властивості ред.

Існування ред.

Категорія має границі типу $J$ , якщо будь-яка діаграма типу $J$ має границю.

Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії.

Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми $J$ є множина:

\{(x_{i})_{i\in J}|x_{i}\in F(J)\;\forall i\in J\;\land \;Fu(x_{i})=x_{j}\;\forall u\in \operatorname {Hom} (i,j).\}

Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу J. Границя діаграми F : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів

s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))

заданих у компонентній формі як

{\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{F(\operatorname {dom} (f))}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{F(\operatorname {cod} (f))}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}

Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць.

Універсальна властивість ред.

Розглянемо категорію $C$ з діаграмою $J$ . Категорію функторів $C J$ можна вважати категорією діаграм типу $J$ в $C$ . Діагональний функтор $\Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ — функтор, що відображає елемент $N$ категорії $C$ в постійний функтор $Δ(N): J \to C$ , що відображає все в $N$ .

Для даної діаграми $F : J \to C$ (що розглядається як об'єкт $C J$ ), натуральне перетворення $ψ: Δ(N) \to F$ (що розглядається як морфізм категорії $C J$ ) — те ж саме, що конус з $N$ в $F$ . Компоненти $ψ$ — морфізми $ψ X : N \to F (X)$ . Означення границь і кограниць можна переписати як:

границя $F$ — універсальна стрілка з $Δ$ в $F$ .
кограниця $F$ — універсальна стрілка з $F$ в $Δ$ .

Функтори і границі ред.

Функтор $G : C \to D$ індукує відображення з $Cone(F)$ в $Cone(GF)$ .

$G$ зберігає границі в $F$ , якщо $(GL, G φ )$ — границя $GF$ , коли $(L, φ)$ — границя $F$ . Функтор $G$ зберігає всі границі типу $J$ , якщо він зберігає границі всіх діаграм $F : J \to C$ . Наприклад, можна говорити, що $G$ зберігає добутки, вирівнювачі і т. д.

Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць.

Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним.

Функтор $G : C \to D$ піднімає границі для діаграми $F : J \to C$ якщо з того, що $(L, φ)$ — границя $GF$ випливає, що існує границя $(L', φ')$ в $F$ , така що $G (L, φ) = (L, φ)$ ^[2]. Функтор $G$ піднімає границі типу $J$ , якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу $J$ . Існують двоїсті означення для кограниць.

Примітки ред.

↑ Mathematics Stack Exchange, answer of Stephan F . Kroneck. Архів оригіналу за 1 травня 2013. Процитовано 14 листопада 2018.
↑ Adámek, 1990, с. 227.

Див. також ред.

Література ред.

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories [Архівовано 21 квітня 2015 у Wayback Machine.] (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
Borceux, Francis (1994). Limits. Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Т. Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.

[1] Mathematics Stack Exchange, answer of Stephan F . Kroneck. Архів оригіналу за 1 травня 2013. Процитовано 14 листопада 2018.

[FOOTNOTEAdámek1990227-2] Adámek, 1990, с. 227.

[1]

[2]