Елементарний симетричний многочлен

Елементарні симетричні многочлени — один з підвидів симетричних многочленів, їх важливість у тому, що з них можна скласти довільний симетричний многочлен.

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

${\begin{aligned}e_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j\leq n}x_{j},\\e_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k\leq n}x_{j}x_{k},\\e_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq j<k<l\leq n}x_{j}x_{k}x_{l},\\\end{aligned}}$

і так далі до

$e_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.$

Для довільного многочлена можна записати:

$e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\cdots x_{j_{k}}.$

Алгебраїчна незалежність

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що $P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0.$ Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів $x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}$ можна ввести два відношення лінійного порядку:

• Перше відношення $x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}>x_{1}^{b_{1}}\ldots x_{n}^{b_{n}}$ якщо $a_{j}+\ldots +a_{n}>b_{j}+\ldots +b_{n}$ для найменшого індексу j для якого $a_{j}+\ldots +a_{n}\neq b_{j}+\ldots +b_{n}$.
• Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто $x_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}>x_{1}^{b_{1}}\ldots x_{n}^{b_{n}},$ якщо $a_{j}>b_{j}$ для найменшого індексу j для якого $a_{j}\neq b_{j}$.

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду $cy_{1}^{a_{1}-a_{2}}y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\ldots y_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}y_{n}^{a_{n}}.$ Нехай $ky_{1}^{a_{1}-a_{2}}y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\ldots y_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}y_{n}^{a_{n}}$ є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи $y_{i}=e_{i}$ і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від $x_{1},\ldots ,x_{n}$ одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд $kx_{1}^{a_{1}}\ldots x_{n}^{a_{n}}.$ Якщо тепер $P(e_{1},\ldots ,e_{n})=0,$ то k=0, а тому і $P=0.$

Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

$P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}=(t-x_{1})(t-x_{2})\cdots (t-x_{n}),$

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

${\begin{aligned}a_{n-1}&=-x_{1}-x_{2}-\cdots -x_{n}\\a_{n-2}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{2}x_{3}+\cdots +x_{n-1}x_{n}=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&{}\ \,\vdots \\a_{n-d}&=\textstyle (-1)^{d}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{d}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{d}}\\&{}\ \,\vdots \\a_{0}&=(-1)^{n}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}.\\\end{aligned}}$

Фундаментальна теорема про симетричні многочлени

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних $e_{1},\ldots ,e_{n}$ з коефіцієнтами з R.

Література

• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
• Smith, Larry (1995), Polynomial invariants of finite groups, Research notes in mathematics, т. 6, AK Peters, ISBN 9781568810539