Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта , що виражають коефіцієнти многочлена через його корені .
Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.
Якщо
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
a
2
x
n
−
2
+
.
.
.
+
a
n
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:
a
1
=
−
(
x
1
+
x
2
+
…
+
x
n
)
a
2
=
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
…
+
x
1
x
n
+
x
2
x
3
+
…
+
x
n
−
1
x
n
a
3
=
−
(
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
…
+
x
n
−
2
x
n
−
1
x
n
)
⋯
⋯
a
n
−
1
=
(
−
1
)
n
−
1
(
x
1
x
2
…
x
n
−
1
+
x
1
x
2
…
x
n
−
2
x
n
+
…
+
x
2
x
3
.
.
.
x
n
)
a
n
=
(
−
1
)
n
x
1
x
2
…
x
n
.
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})\\a_{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\a_{3}&=&-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n})\\\cdots &&\cdots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}+x_{1}x_{2}\ldots x_{n-2}x_{n}+\ldots +x_{2}x_{3}...x_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\end{matrix}}.}
Іншими словами
(
−
1
)
k
a
k
{\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}
k
{\displaystyle k}
Якщо старший коефіцієнт многочлена
a
0
≠
1
{\displaystyle a_{0}\neq 1}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими , то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.
Доведення
ред.
Доведення використовує рівність
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
a
2
x
n
−
2
+
…
+
a
n
=
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
…
(
x
−
x
n
)
{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})}
Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.
Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.
Приклади
ред.
Якщо
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
квадратного рівняння
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
В частковому випадку при
a
=
1
{\displaystyle a=1}
x
2
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^{2}+px+q=0}
x
1
+
x
2
=
−
p
,
x
1
x
2
=
q
{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q}
Якщо
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
кубічного рівняння
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}
В частковому випадку (кубічне рівняння
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^{3}+px+q=0}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
p
,
x
1
x
2
x
3
=
−
q
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=p,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-q}
Якщо
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}
рівняння четвертого степеня
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
c
a
,
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}},}
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
−
d
a
,
x
1
x
2
x
3
x
4
=
e
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}}
В частковому випадку (рівняння
x
4
+
p
x
2
+
q
x
+
r
=
0
{\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
0
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
p
,
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=p,}
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
−
q
,
x
1
x
2
x
3
x
4
=
r
{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-q,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=r}
Див. також
ред.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — : Наука, 1968. — 331 с. 
