Дотичне розшарування

Дотичне розшарування гладкого многовиду $M$ — це векторне розшарування над $M$, шар якого в точці $x\in M$ є дотичним простором $T_{x}M$ в точці $x$. Дотичне розшарування зазвичай позначається $TM$.

Неформально, дотичне розшарування многовиду (в даному випадку кола) виходить при розгляді всіх дотичних просторів (зверху) і об'єднання їх гладко без перетинів (знизу)

Елемент тотального простору $TM$ — це пара $(x,\;v)$, де $x\in M$ і $v\in T_{x}M$. Дотичне розшарування має природну топологією (не топологією диз'юнктивного об'єднання) і гладку структуру, що перетворюють його на многовид. Розмірність $TM$ дорівнює подвоєній розмірності $M$.

Топологія і гладка структура

Якщо $M$ — $n$-мірний многовид, то він має атласом карт $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$, де $U_{\alpha }$ — відкрита підмножина $M$ і

$\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}$

— гомеоморфізм.

Ці локальні координати на $U$ породжують ізоморфізм між $T_{x}M$ і $\mathbb {R} ^{n}$ для будь-якого $x\in U$. Можна визначити відображення

${\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}$

як

${\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).$

Ці відображення використовуються для визначення топології і гладкої структури на $TM$.

Підмножина $A$ з $TM$ відкрита тоді і тільки тоді, коли ${\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))$ — відкрите в $\mathbb {R} ^{2n}$ для будь-якого $\alpha$. Ці відображення — гомеоморфізми відкритих підмножин $TM$ і $\mathbb {R} ^{2n}$, тому вони утворюють карти гладкої структури на $TM$. Функції переходу на перетинах карт $\pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ задаються матрицями Якобі відповідних перетворень координат, тому вони є гладкими відображеннями відкритих підмножин $\mathbb {R} ^{2n}$.

Дотичне розшарування — окремий випадок більш загальної конструкції, званої векторним розшаруванням. Дотичне розшарування $n$-мірного многовиду $M$ можна визначити як векторне розшарування рангу $n$ над $M$, функції переходу для якого задаються якобіаном відповідних перетворень координат.

Приклади

• Найпростіший приклад отримуємо для $\mathbb {R} ^{n}$. У цьому випадку дотичне розшарування тривіально і ізоморфно проєкції $\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}$.
• Одинична окружність $S^{1}$. Її дотичне розшарування також тривіально і ізоморфно $S^{1}\times \mathbb {R}$. Геометрично, воно є циліндром нескінченної висоти (дивись картинку вгорі).
• Простий приклад нетривіального дотичного розшарування отримуємо на одиничній сфері $S^{2}$, це дотичне розшарування нетривіально внаслідок теореми про причісуванні їжака.
• На жаль зобразити можна тільки дотичні розшарування дійсної прямої $R$ і одиничної окружності $S^{1}$, які обидва є тривіальними. Для двовимірних многовидів дотичне розшарування — це 4-вимірний многовид, тому його складно уявити.

Векторні поля

Векторне поле — це гладка векторна функція на многовиді $M$, значення якої в кожній точці — вектор, дотичний до $M$, тобто гладке відображення

$V\colon M\to TM$

таке, що образ $x$, що позначається $V_{x}$, лежить у $T_{x}M$ — дотичному просторі в точці $x$. Мовою локально тривіальних розшарувань, таке відображення називається перетином. Векторне поле на $M$ — це перетин дотичного розшарування над $M$.

Множина всіх векторних полів над $M$ позначається $\Gamma (TM)$. Векторні поля можна складати поточечно:

$(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$

і множити на гладкі функції на $M$

$(fV)_{x}=f(x)V_{x},$,

отримуючи нові векторні поля. Множина всіх векторних полів $\Gamma (TM)$ отримує при цьому структуру модуля над комутативною алгеброю гладких функцій на $M$ (позначається $C^{\infty }(M)$).

Якщо $f$ є гладкою функцією, то операція диференціювання вздовж векторного поля $X$ дає нову гладку функцію $Xf$. Цей оператор диференціювання має такі властивості:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Векторне поле на многовиді можна також визначити як оператор, котрий володіє перерахованими вище властивостями.

Локальне векторне поле на $M$ — це локальний перетин дотичного розшарування. Локальне векторне поле визначається тільки на якійсь відкритій підмножині $U$ з $M$, при цьому в кожній точці з $U$ задається вектор з відповідного дотичного простору. Множина локальних векторних полів на $M$ утворює структуру, що називається пучком дійсних векторних просторів над $M$.

Канонічне векторне поле на TM

На кожному дотичному розшаруванні $TM$ можна визначити канонічне векторне поле. Якщо $(x,\;y)$ — локальні координати на $TM$, то векторне поле має вигляд

$V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.$

$V$ є відображенням $V\colon TM\to TTM$.

Існування такого векторного поля на $TM$ можна порівняти з існуванням канонічної 1-форми на кодотичному розшаруванні.

Посилання

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — Москва : ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York : Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland Tangent Bundle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle на PlanetMath.(англ.)