Якобіан

Якобіан — визна́чник матриці Якобі.

При заміні змінних $u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{m})$ Якобіан визначається як

$J=\left|{\begin{matrix}{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{1}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial u_{m}}{\partial x_{m}}}\end{matrix}}\right|.$

Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні:

$du_{1}\cdot \ldots du_{m}=|J|dx_{1}\cdot \ldots dx_{m}$.

Крім позначення літерою J використовується також позначення

$J={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}$.

Якобіан має ряд властивостей, подібних до властивостей похідної. Зокрема

${\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}={\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(t_{1},\ldots ,t_{m})}}$.

${\frac {D(u_{1},\ldots ,u_{m})}{D(x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {1}{\frac {D(x_{1},\ldots ,x_{m})}{D(u_{1},\ldots ,u_{m})}}}$.

Приклад

У сферичній системі координат

$x=r\sin \theta \cos \varphi$

$y=r\sin \theta \sin \varphi$

$z=r\cos \theta \,$

Якобіан дорівнює

$J{\bigl (}r,\theta ,\varphi {\bigr )}=\left|{\begin{matrix}{dx \over dr}{dx \over d\theta }{dx \over d\varphi }\\{dy \over dr}{dy \over d\theta }{dy \over d\varphi }\\{dz \over dr}{dz \over d\theta }{dz \over d\varphi }\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{matrix}}\right|=r^{2}\sin \theta$

Тому

$dxdydz=r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Карла Якобі

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4 (englisch). (Für die Definition)
• Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs theoretische Physik. 8. Auflage. Band 1. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-34832-0.
• W. Tian, W. Gao, D. Zhang et. (2014) A general approach for error modeling of machine tools. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 79, 17–23. (застосування якобіана для багатокоординатної обробки об'єктів)