Група Коксетера
абстрактна група, яка допускає формальний опис у термінах відображень (або калейдоскопічних дзеркал)
Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях -вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від (тобто дорівнює для деякого цілого ). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у просторі Лобачевського.
Приклади ред.
- Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі.
- Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності :
- -вимірний куб довільної розмірності.
- -вимірний симплекс, утворений точками з координатами такими, що .
- Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності :
- правильний -вимірний симплекс зі стороною .
- Многогранники Коксетера в просторах Лобачевського:
- Правильний - многокутник із кутом .
- Правильний прямокутний додекаедр у розмірності .
- Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності .
Властивості ред.
- Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
- Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
- Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
- Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
- Теорема Вінберга[1]. У просторах Лобачевського всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
- Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
- Многогранники Коксетера є простими.
- Позначимо через відображення в гранях многогранника, і нехай є двогранний кут між гранями і . Нехай , якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і . Тоді групу Коксетера можна задати так:
Варіації та узагальнення ред.
- Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:
- ,
- де і при .
Див. також ред.
Примітки ред.
- ↑ Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений [Архівовано 23 травня 2013 у Wayback Machine.] УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
Література ред.
- H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35 (21 April). — P. 588—621. — DOI: . JSTOR 1968753