Стодвадцятикомірник

Стодвадцятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) стодвадцятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{5,3,3}
Комірок	120
Граней	720
Ребер	1200
Вершин	600
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	Шестисоткомірник

Пра́вильний стодвадцятикомі́рник, або просто стодвадцятикомі́рник — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Відомий також під іншими назвами: гекатонікосахор (від дав.-гр. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцять» і χώρος — «місце, простір»), гіпердодекае́др (оскільки є чотиривимірним аналогом додекаедра), додекаплекс (тобто «комплекс додекаедрів»), полідодека́едр. Двоїстий шестисоткомірнику.

Розгортка

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі стодвадцятикомірника — {5,3,3}.

Усі 9 його зірчастих форм — правильні зірчасті багатокомірники. З 10 правильних зірчастих багатокомірників лише один не є зірчастою формою стодвадцятикомірника.

Опис

Обмежений 120 тривимірними комірками — однаковими додекаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює рівно $144^{\circ }$.

Його 720 двовимірних граней — однакові правильні п'ятикутники. Кожна грань відокремлює 2 комірки, що прилягають до неї.

Має 1200 ребер однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 600 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней та по 4 комірки.

В координатах

Стодвадцятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:

• координати 24 його вершин були різноманітними перестановками чисел $(0;0;\pm 2;\pm 2);$

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});$

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),$ де $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — відношення золотого перетину;

• координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});$

• координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками $(0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});$

• координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками $(0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});$

• координати решти 192 вершин — різноманітними парними перестановками $(\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).$

Початок координат $(0;0;0;0)$ буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його вписаної, описаної та напівуписаних тривимірних гіперсфер.

Проєкція обертового стодвадцятикомірника в тривимірний простір

Вигляд зовні

Вигляд зсередини

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо стодвадцятикомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},$

$S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

$R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,$

радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах)

$\rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,$

радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

$\rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,$

радіус уписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах)

$r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Стодвадцятикомірник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Побудова стодвадцятикомірника на YouTube
• Главы 3 и 4: Четвертое измерение. Dimensions (російською) . dimensions-math.org. Архів оригіналу за 4 березня 2015.