Від'ємний біноміальний розподіл

Від’ємний біноміальний розподіл в теорії імовірностей — розподіл дискретної випадкової величини, рівної кількості невдач в послідовності випробувань Бернуллі з імовірністю успіху $p$, проведеній до $r$-го успіху.

Від'ємний біноміальний розподіл
Функція ймовірностей Помаранчева лінія показує математичне сподівання, яке для усіх малюнків дорівнює 10; зелена лінія показує стандартне відхилення.
Параметри	r > 0 — кількість невдач до зупинки експерименту (ціле число, але означення може бути також розширене на дійсні числа) p ∈ [0,1] — ймовірність успіху в кожному випробуванні (дійсне число)
Носій функції	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } — число успіхів
Розподіл імовірностей	$k\mapsto C_{k+r-1}^{k}(1-p)^{k}p^{r},$ де $C$ — біноміальний коефіцієнт
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$k\mapsto 1-I_{p}(k+1,\,r),$ де $I$ — регуляризована неповна бета-функція
Середнє	${\frac {r(1-p)}{p}}$
Мода	${\begin{cases}{\big \lfloor }{\frac {(r-1)(1-p)}{p}}{\big \rfloor }&{\text{якщо}}\ r>1\\0&{\text{якщо}}\ r\leq 1\end{cases}}$
Дисперсія	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)r}}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ для }}t<-\log p$
Характеристична функція	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ при }}t\in \mathbb {R}$
Генератриса (pgf)	${\biggl (}{\frac {p}{1-(1-p)z}}{\biggr )}^{\!r},|z|<{\frac {1}{p}}$

Означення

Нехай $\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — послідовність незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, тобто

$X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .$

Побудуємо випадкову величину $Y$ наступним чином. Нехай $k+r$ — номер $r$-го успіху в цій послідовності. Тоді $Y=k$. Більш строго, покладемо $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$. Тоді

$Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r$.

Розподіл випадкової величини $Y$, визначеної таким чином, називається від’ємним біноміальним. Пишуть: $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$.

Функції ймовірності і розподілу

Функція ймовірностей випадкової величини $Y$ має вигляд:

$\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots$.

Функція розподілу $Y$ кусково-постійна, і її значення в цілих точках може бути виражене через неповну бета-функцію:

$F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)$.

Моменти

Твірна функція моментів від’ємного біноміального розподілу має вигляд:

$M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$,

звідки

$\mathbb {E} [Y]=r{\frac {q}{p}}$,

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)