Функція ймовірностей у теорії ймовірностей — найпоширеніший спосіб охарактеризувати дискретний розподіл .
Графік функції мас імовірності. Всі значення цієї функції мусять бути невід'ємними, і давати в сумі 1. Визначення
ред.
Функція довільної імовірності
ред.
Нехай
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ймовірнісний простір
(
R
n
,
B
(
R
n
)
,
P
)
{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)}
B
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}
борелівську
σ
{\displaystyle \sigma }
на
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
зліченна підмножина
X
⊂
R
n
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}
P
(
X
)
=
1
{\displaystyle \mathbb {P} (X)=1}
Визначення 2. Функція
p
:
R
n
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}
p
(
x
)
=
{
P
(
{
x
}
)
,
x
∈
X
0
,
x
∈
R
n
∖
X
{\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.}
називається функцією ймовірності
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
Функція ймовірності випадкової величини
ред.
Визначення 3. Нехай
X
:
Ω
→
R
n
{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
випадкова величина (випадковий вектор ). Тоді вона індукує ймовірнісну міру
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p
X
{\displaystyle p_{X}}
X
{\displaystyle X}
p
X
(
x
)
=
P
X
(
{
x
}
)
≡
P
(
X
=
x
)
{\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)}
чи коротше
p
X
(
x
i
)
=
P
(
X
=
x
i
)
=
p
i
,
i
∈
N
{\displaystyle p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} }
де
X
=
{
x
1
,
x
2
,
x
3
,
…
}
⊂
R
n
{\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}}
Властивості функції ймовірності
ред.
З властивостей імовірності очевидно випливає:
p
X
(
x
i
)
⩾
0
,
∀
i
∈
N
{\displaystyle p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N} }
∑
i
=
1
∞
p
X
(
x
i
)
=
1
{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1}
Функція розподілу випадкової величини може бути виражена через її функцію імовірності:
F
X
(
x
)
=
∑
x
′
⩽
x
p
X
(
x
′
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')}
Якщо
X
=
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}
∑
x
2
p
X
1
,
X
2
(
x
1
,
x
2
)
=
p
X
1
(
x
1
)
{\displaystyle \sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})}
∑
x
1
p
X
1
,
X
2
(
x
1
,
x
2
)
=
p
X
2
(
x
2
)
{\displaystyle \sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})}
де
p
X
1
,
X
2
{\displaystyle p_{X_{1},X_{2}}}
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle (X_{1},X_{2})}
p
X
i
{\displaystyle p_{X_{i}}}
X
i
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle X_{i},\;i=1,2}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
E
[
g
(
X
)
]
=
∑
i
=
1
n
g
(
x
i
)
p
i
{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}}
за умови що ряд у правій частині є абсолютно збіжним .
Приклади дискретних розподілів
ред.
![{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa18fd9df9ec89c5a05d3c76cc82bd6c64f2165)
![{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4160d9205020aebd87dd7e6567dd671b1dd23ada)