Бордизм

Бордизм, також бордантність — термін топології, що використовується самостійно або ж у складі стандартних словосполучень в кількох споріднених сенсах. Майже у всіх з них замість бордизма раніше вживали термін кобордизм, попередня термінологія також збереглася.

«Штани» — бордизм між колом і парою кіл

Неорієнтовані бордизми

Неорієнтовані бордизми — найпростіший варіант бордизмів. Два гладких замкнутих $n$-вимірних многовида $M$ і $M'$ бордантні (обмежують, або внутрішньо гомологічні), якщо існує гладкий компактний $(n+1)$-вимірний многовид $W$ (що його називають плівкою), край якого складається з двох многовидів $M$ і $M'$, (або точніше многовидів $M_{0}$ і $M_{1}$ дифеоморфних, відповідно, $M$ і $M'$ через деякі дифеоморфізми $g_{0}\colon M\to M_{0}$ і $g_{1}\colon M'\to M_{1}$). Сукупність многовидів, бордантних один одному, називається класами бордизмів, а трійку $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ називають бордизмом (точніше було би казати про п'ятірку $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$).

Множина класів бордизмів $n$-вимірних многовидів утворюють абелеву групу $\Omega _{n}^{O}$ відносно незв'язного об'єднання, що називають групою бордизмів. Нулем в ній служить клас бордизмів, що складаються з многовидів, які є межею деякого многовиду (інші назви: $M$ — обмежуючий многовид, $M$ — внутрішньо гомологічно, або бордантно нулю). Елементом $\Omega _{n}^{O}$ оберненим даному класу бордизмів, є сам цей клас (так як об'єднання двох копій $M$ дифеоморфно межі прямого добутку $M\times [0,\;1]$). Пряма сума $\Omega _{*}^{O}$ груп $\Omega _{n}^{O}$ є комутативним градуйованим кільцем, множення у якому індуковане прямим добутком многовидів, з одиницею, заданою класом бордизмів точки.

Історія

Перший приклад — бордизм оснащених многовидів, введений в 1938 році Понтрягіним, який показав, що класифікація цих бордизмів еквівалентна обрахуванню гомотопічних груп сфер $\pi _{i}(S^{n})$, і таким шляхом зміг знайти $\pi _{n+1}(S^{n})$ і $\pi _{n+2}(S^{n})$. Неорієнтовані та орієнтовані бордизми були уведені в 1951—53 роках Рохліним, який обрахував $\Omega _{n}^{SO}$ для $n\leqslant 4$. Понтрягін довів, що якщо два многовида бордантні, то у них однакові характеристичні числа. Згодом виявилося, що зворотне теж вірно.

Література

• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М: Мир, 1972. — 280 с.

Див. також

• $h$-кобордизм