Антирефлексивне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

Антирефлексивне відношення — бінарне відношення , у якому жоден елемент не співвідноситься із собою. Іншими словами відношення R на множині X є антирефлексивним, якщо для жодного a ∈ X не виконується aRa, тобто

$\forall a\in X,\ \lnot (aRa)$.

Пов'язані терміни

Поняття антирефлексивного відношення протилежне до рефлексивного - бінарне відношення, у якому кожен елемент пов'язаний із собою, тобто

$\forall a\in X,\ aRa$

Як приклад такого відношення можна навести відношення нестрогої нерівності на множині натуральних або дійсних чисел. У матриці A(R) рефлексивного відношення на головній діагоналі завжди одиниці, а граф G(R) рефлексивного відношення містить петлі у всіх вершинах.

Відношення називають нерефлексивним, якщо в множині А існує елемент х, який не перебуває у відношенні сам із собою. Зрозуміло, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але нерефлексивне не завжди є антирефлексивним. Наприклад, на множині дійсних чисел задано відношення R={(x,y), xRy ↔ y=1/x}. Як бачимо, тільки при x=y=1 має місце xRx.

Властивості рефлексивного та антирефлексивного відношення

• Об'єднання та перетин двох рефлексивних або антирефлексивних відношень також буде рефлексивним або ж антирефлексивним відношенням відповідно.
• Що стосується добутку: добуток рефлексивних відношень залишається рефлексивним відношенням, проте добуток антирефлексивних відношень уже не обов'язково буде антирефлексивним.
• Транзитивне замикання рефлексивного відношення є рефлексивним відношенням.

Приклади антирефлексивних відношень

$\forall a\in X,\ \lnot (aRa)$.

• $\neq \!$ «не рівно»
• $<\!$ «менше»
• $>\!$ «більше»
• $\subset \!$ «є підмножиною»
• "бути старшим" у множині людей
• "бути батьком"

Зображення антирефлексивних відношень

Матриця антирефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – нулі.

Граф антирефлексивного відношення не має жодної петлі.

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)