Антисиметричне відношення

Властивості бінарних відношень:

рефлексивність
антирефлексивність

симетричність
асиметричність

антисиметричність

транзитивність
антитранзитивність

повнота


В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, таких що a відноситься до b, і ab, випливає що b не відноситься до a.

Співвідношення антисиметричності нічого не говорить про відношення між однаковими елементами. Проте з вище вказаної умови випливає співвідношення:

Рівність a = b отримаємо лише у випадку рефлексивого відношення.

У випадку, якщо на антисиметричне відношення додатково накласти умову антирефлексивності, то відношення стане асиметричним:

.

Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел x і y обидві нерівності x ≤ y і y ≤ x виконуються, то x і y мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини A і B, якщо кожен елемент, що знаходиться в A також знаходиться в B і кожен елемент B також в A, то A і B повинні містити однакові елементи, тоді:

Матриця антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.

Приклади ред.

  • Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ab та ba одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли a=b.
  • Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
  • Антисиметричним відношенням на підмножині цілих чисел буде відношення ділення. Якщо, a ділить b та b ділить a, то a = b.

Властивості ред.

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: «дорівнює» ("   ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: «менше або дорівнює» ("   ").

Джерела ред.