Алгебраїчні числа

Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число $\alpha \in \mathbb {C}$ є алгебраїчним, якщо існує многочлен

$\ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$,

де $a_{k}\in \mathbb {Q}$ і $f(\alpha )=0$.

У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Приклади

• Всі раціональні числа є алгебраїчними: число $\left({\frac {a}{b}}\right)$ є, наприклад, коренем рівняння $bx-a=0$.
• Уявна одиниця, число $i={\sqrt {-1}}$ є алгебраїчним, як корінь рівняння $x^{2}+1=0$.
• Числа e, π, e^π є трансцендентними. Статус числа π^e невідомий.
• Якщо $\alpha \neq 0,1,\,\beta \notin \mathbb {Q}$ — алгебраїчні числа, тоді $\alpha ^{\beta }$ — трансцендентне число.
• Числа $\cos(1)$ і $\sin(1)$ є алгебраїчними (кути в градусах).

Цей факт випливає з тригонометричної рівності:

$\cos((n+1)\theta )=2\cos(n\theta )\cos \theta -\cos((n-1)\theta )$

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

$g_{n+1}(x)=2g_{n}(x)x-g_{n-1}(x),\,$

то $\cos(m\theta )=g_{m}(\cos \theta ),m\in \mathbb {N} .$ Звідси одержуємо:

$0=\cos(90\cdot 1)=g_{90}(\cos 1),$ тобто $\cos(1)$ є коренем многочлена $g_{90}(x),$ що й доводить твердження.

Для $\sin(1)$ достатньо зазначити, що всі степені $x$ в $g_{90}(x)$ є парними і що $\cos(1)={\sqrt {1-\sin ^{2}(1)}}$.

Мінімальний многочлен

Якщо $\alpha$ — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких $\alpha$ є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним $1$. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа $\alpha$.

• Степінь мінімального многочлена $\alpha$ називається степенем алгебраїчного числа $\alpha$.
• Інші корені мінімального многочлена $\alpha$ називаються спряженими до $\alpha$.
• Висотою алгебраїчного числа $\alpha$ називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого $\alpha$ є коренем.

Мінімальний многолен числа $\alpha$ має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли $\alpha$ — ціле алгебраїчне число.

Приклади

• Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
• Уявна одиниця $i$ так само як ${\sqrt {2}}$ є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно $-i$ та $-{\sqrt {2}}$.
• При будь-якому натуральному $n$, ${\sqrt[{n}]{2}}$ є алгебраїчним числом $n$-го степеня.

Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо $\alpha$ і $\beta$ — алгебраїчні числа то їх обернені елементи $-\alpha$ і $\alpha ^{-1}$, а також сума $\alpha +\beta$ і добуток $\alpha \beta$ також є алгебраїчними числами.

Доведення

• Спершу доведемо алгебраїчність $-\alpha$. Якщо $f(x)$ — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого $\alpha$ є коренем, то $-\alpha$ буде коренем многочлена $-f(x)$. Тобто $-\alpha$ — алгебраїчне число.

• Якщо $\alpha$ — корінь многочлена $f(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\in \mathbb {Z} [x]$, то $\alpha ^{-1}$ є коренем многочлена $g(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{k}\in \mathbb {Z} [x]$, отже $\alpha ^{-1}$ теж є алгебраїчним числом.

• Доведемо тепер алгебраїчність $\alpha +\beta$. Припустимо α є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ і $\beta$ є коренем многочлена $g(x)\in \mathbb {Z} [x]$. Нехай $\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$ — всі корені $f(x)$ (враховуючи їх кратність, так що степінь $f(x)$ рівний $n$) і нехай $\beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{m}$ — всі корені $g(x)$. Розглянемо многочлен:

$F(x)=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}(x-(\alpha _{i}+\beta _{j}))$.

Множина $R=\mathbb {Z} [\beta _{1},\ldots ,\beta _{m}]$ є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти $F(x)$ є симетричними многочленами від чисел $\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$. Тому якщо, $\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n}$ — елементарні симетричні многочлени від $\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$ і $A$ — деякий коефіцієнт (при $x^{k}$) многочлена $F(x)$, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що $A=B(\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{n})$ для деякого многочлена $B$ з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти $F(x)$ також є симетричними многочленами від чисел $\beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}$. Нехай $R=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ і $\sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{n}'$ — елементарні симетричні многочлени від $\beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{m}$ тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени $A=B'(\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{m}')$ для деякого многочлена $B'$ з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі $\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n},\sigma _{1}',\sigma _{2}',\dots ,\sigma _{m}'$ є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт $A$. Тому $F(x)\in \mathbb {Q} [x]$ і оскільки $\alpha +\beta$ є коренем $F(x)$ це число є алгебраїчним.

• Алгебраїчність числа $\alpha \beta$ доводиться аналогічно до випадку $\alpha +\beta$, розглядаючи многочлен:

$F(x)=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}(x-(\alpha _{i}\beta _{j}))$.

Властивості

• Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
• Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
• Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
• Для довільного алгебраїчного числа $\alpha$ існує таке натуральне $N$, що $N\alpha$ — ціле алгебраїчне число.
• Алгебраїчне число $\alpha$ степеня $n$ має $n$ різних спряжених чисел (включаючи саме число $\alpha$).
• $\alpha$ і $\beta$ спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля $\mathbb {A}$, що переводить $\alpha$ у $\beta$.
• В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
  • Теорема Ліувіля: якщо $\alpha \in \mathbb {Q}$ є коренем многочлена $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ степінь якого рівний $n$, тоді існує число $A$ залежне від $\alpha$, що

$\left|\alpha -\left({\frac {a}{b}}\right)\right|>\left({\frac {A}{b^{n}}}\right)$, для довільного раціонального числа $\left({\frac {a}{b}}\right)$.

• • Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо $\alpha \in \mathbb {Q}$ є алгебраїчним числом, тоді для довільного $\varepsilon$ існує лише скінченна кількість пар цілих чисел $(a,b)$ де $b>0$ для яких:

$\left|\alpha -\left({\frac {a}{b}}\right)\right|<\left({\frac {1}{b^{(2+\varepsilon )}}}\right).$

Див. також

• Ціле алгебраїчне число
• Алгебраїчне розширення

Посилання

• Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах^{[недоступне посилання з лютого 2019]} // Конспект курсу лекцій.
• M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes

Література

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
• Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
• Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
• Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
• Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X