Аксіоматика Біркгофа

Аксіоматика Джорджа Біркгофа — це система із чотирьох аксіом евклідової геометрії. У формулюванні аксіом використовується поняття дійсного числа. Тому аксіоматика Біркгофа нагадує введення евклідової геометрії за допомогою моделі.

Історія ред.

Біркгоф брав участь у написанні шкільного підручника з використанням цієї системи аксіом. Ця система вплинула на ту систему аксіом, яка була розроблена School Mathematics Study Group^[en] для американської школи.

Аксіоми ред.

Аксіома І. Множина точок $\{A,B,...\}$ на довільній прямій допускає бієкцію на множину дійсних чисел $\{a,b,...\}$ , причому так, що $|AB|=|b-a|$ для всіх точок А і В.

Аксіома ІІ. Існує одна і тільки одна пряма ℓ, якій належать довільні дві різні точки Р та Q.

Аксіома ІІІ. Множина променів {ℓ, , ,…} з початком в будь-якій точці O допускає бієкцію на множину дійсних чисел по модулю 2 $\pi$ так, що коли A та B - точки (відмінні від О) на променях ℓ і m відповідно, то різниця $a_{m}-a_{l}(mod2\pi )$ для променів ℓ та m дорівнює $\angle AOB$ . Крім того, якщо точка B на m рухається неперервно вздовж прямої p, яка не містить вершину О, то число $a_{m}$ також змінюється неперервно.

Аксіома IV. Припустимо, що два трикутника ABC та A'B'C' такі, що $|A'B'|=k|AB|$ , $|A'C'|=k|AC|$ для деякого дійсного числа k > 0 та $\angle B'A'C'=\pm \angle BAC(mod2\pi )$ , тоді $|B'C'|=k|BC|$ , $\angle A'C'B'=\pm \angle ACB(mod2\pi )$ , $\angle C'B'A'=\pm \angle CBA(mod2\pi )$ .