Аксіоматика Колмогорова (геометрія)

Аксіоматика Колмогорова — аксіоматика евклідової геометрії (планіметрії), запропонована академіком Андрієм Колмогоровим.

Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Колмогорова є: точка, пряма та відстань між двома точками. Множина всіх розглядуваних точок називається площиною. Крім основних понять планіметрії, використовуються поняття числа, множини і величини.

Зауважимо також, що при побудові планіметрії вважаються відомими правила логіки і загальні властивості чисел, множин і величин.

Аксіоми

Аксіоми планіметрії розбиваються на п'ять груп:

Перша група — аксіоми належності.

• І₁. Кожна пряма є множиною точок.
• І₂. Для будь-яких двох різних точок існує одна і тільки одна пряма, що їх містить.
• І₃. Існує принаймні одна пряма і кожній прямій належить хоча б одна точка.

Друга група — аксіоми відстані.

• ІІ₁. Для будь-яких двох точок $A$ і $B$ існує невід'ємна величина, яка називається відстанню від $A$ до $B$. Відстань дорівнює нулю тоді і тільки тоді, якщо точки $A$ і $B$ збігаються. Відстань від $A$ до $B$ позначається $|AB|$.
• ІІ₂. Для будь-яких точок $A$ і $B$ відстань від $A$ до $B$ дорівнює відстані від $B$ до $A$.
• ІІ₃. Для довільних трьох точок $A$, $B$, $C$ відстань від $A$ до $C$ не більша за суму відстаней від $A$ до $B$ і від $B$ до $C$: $|AC|\leq |AB|+|BC|$.

Третя група ― аксіоми порядку.

• ІІІ₁. Будь-яка точка $O$ прямої $l$ розбиває множину всіх відмінних від $O$ точок прямої $l$ на дві непорожні множини так, що:
  • а) для будь-яких двох точок $A$ і $B$, що належать різним множинам, точка $O$ лежить між $A$ і $B$;
  • б) коли точки $A$ і $B$ належать одній і тій самій множині, то одна з них лежить між другою точкою і точкою $O$.

• ІІІ₂. Для будь-якої відстані $\alpha$ на заданому промені з початком $O$ існує одна і тільки одна точка $A$, відстань якої від точки $O$ дорівнює $\alpha$.
• ІІІ₃. Якщо точка $C$ лежить між точками $A$ і $B$, то точки $A$, $B$, $C$ належать одній прямій.
• ІІІ₄. Будь-яка пряма $l$ розбиває множину точок площини, які не належать їй, на дві непорожні множини так, що:
  • а) будь-які дві точки, що належать різним множинам, розділені прямою $l$;
  • б) будь-які дві точки, що належать одній і тій самій множині, не розділені прямою $l$.

Четверта група ― аксіома руху.

• IV₁. Якщо відстань $|AB|$ додатна і дорівнює відстані $|A_{1}B_{1}|$, то існує два і тільки два рухи, кожен з яких відображає точку $A$ на точку $A_{1}$, а точку $B$ — на точку $B_{1}$. Якщо $\rho$ — півплощина з межею $AB$, то вона цими переміщеннями відображається на дві різні півплощини $u$ і $v$ з межею $A_{1}B_{1}$.

П'ята група — аксіома паралельності.

• V₁. Через точку $A$ проходить не більш як одна пряма, паралельна даній прямій.

Див. також

• Аксіоматика Гільберта
• Аксіоматика Александрова
• Планіметрія
• Аксіома
• Евклідова геометрія

Посилання

• Ілляшенко В. Я. Основи геометрії [Архівовано 13 серпня 2016 у Wayback Machine.]: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. — Луцьк : РВВ «Вежа» Волин. нац. ун-ту ім. Лесі Українки, 2012. — 256 с.