Ікосаедрична піраміда

Ікосаедрична піраміда
Діаграма Шлегеля
Тип	многогранна піраміда
Символ Шлефлі	() ∨ {3,5}
Комірок	21	1 {3,5} 20 () ∨ {3}
Граней	50	20+30 {3}
Ребер	12+30
Вершин	13
Двоїстий	додекаедрична піраміда
Група симетрії	H3, [5,3,1], order 120
Властивості	опуклий, правильнокомірковий, політоп Блінда

Ікосаедри́чна пірамі́да — чотиривимірний многогранник (багатокомірник): многогранна піраміда, що має основою ікосаедр.

Ортогональна двовимірна проєкція рівногранної ікосаедричної піраміди, що обертається навколо площини, яка проходить через два паралельні ребра її основи

Опис

Обмежена 21 тривимірною коміркою — 20 тетраедрами і 1 ікосаедром. Ікосаедрична комірка оточена всіма двадцятьма тетраедричними; кожна тетраедрична комірка оточена ікосаедричною і трьома тетраедричними.

50 двовимірних граней — трикутники. 20 граней розділяють ікосаедричну і тетраедричну комірки, решта 30 — дві тетраедричні.

Має 42 ребра. На 30 ребрах сходяться по три грані і по три комірки (ікосаедрична і дві тетраедричні), на решті 12 — по п'ять граней і по п'ять комірок (тільки тетраедричні).

Має 13 вершин. У 12 вершинах сходяться по 6 ребер, по 10 граней і по 6 комірок (ікосаедрична і п'ять тетраедричних); у 1 вершині — 12 ребер, 30 граней і всі 20 тетраедричних комірок.

Рівногранна ікосаедрична піраміда

Якщо всі ребра ікосаедричної піраміди мають рівну довжину $a$ її грані — однакові правильні трикутники. Чотиривимірний гіпероб'єм та тривимірна гіперплоща поверхні такої піраміди виражаються відповідно як

$V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 0{,}1685452a^{4},$

$S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 4{,}5387176a^{3}.$

Висота піраміди при цьому дорівнюватиме

$H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\approx 0{,}3090170a,$

радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника)

$R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

$\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

$\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a,$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок) -

$r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a\approx 0{,}1485399a.$

Центр вписаної гіперсфери розташований всередині піраміди, центри описаної та обох напіввписаних гіперсфер — в одній і тій самій точці поза пірамідою.

Таку піраміду можна отримати, взявши опуклу оболонку будь-якої вершини шестисоткомірника та всіх 12 сусідніх вершин, з'єднаних з нею ребром.

Кут між двома суміжними тетраедричними комірками дорівнює $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ },$ як і у шестисоткомірнику. Кут між ікосаедричною коміркою та будь-якою з тетраедричних дорівнює $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 22{,}24^{\circ }.$

У координатах

Рівногранну ікосаедричну піраміду з довжиною ребра $2$ можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати

• $\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
• $\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
• $\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
• $\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

де $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ — відношення золотого перетину.

Посилання

• Richard Klitzing. Icosahedral pyramid (англ.)