D
{\displaystyle D}
-матриця Вігнера є матрицею незвідного представлення груп SU (2) і SO (3) . Комплексне спряження
D
{\displaystyle D}
-матриці є власною функцією гамільтоніана сферичних і симетричних жорстких ротаторів. Матриця була введена в 1927 році Юджином Вігнером .
Означення D -матриці Вігнера
ред.
Нехай
J
x
{\displaystyle J_{x}}
,
J
y
{\displaystyle J_{y}}
,
J
z
{\displaystyle J_{z}}
утворюють алгебри Лі
S
U
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (2)}
і
S
O
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}
. У квантовій механіці ці три оператори є компонентами векторного оператора відомого як кутовий момент . Прикладами можуть служити момент електрона в атомі, електронний спін і момент кількості руху жорсткого ротатора. У всіх випадках три оператори задовольняють наступним комутаційним співвідношенням
[
J
x
,
J
y
]
=
i
J
z
,
[
J
z
,
J
x
]
=
i
J
y
,
[
J
y
,
J
z
]
=
i
J
x
,
{\displaystyle [J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},}
де
i
{\displaystyle i}
це уявна одиниця і стала Планка
ℏ
{\displaystyle \hbar }
задана рівною одиниці. Оператор
J
2
=
J
x
2
+
J
y
2
+
J
z
2
{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}
є оператором Казиміра з
S
U
(
2
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (2)}
(або
S
O
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}
, в залежності від обставин). Він може бути діагоналізований разом з
J
z
{\displaystyle J_{z}}
(вибір цього оператора визначається угодою), який комутує з
J
2
{\displaystyle J^{2}}
. Тобто, можна показати, що існує повний набір кетів з
J
2
|
j
m
⟩
=
j
(
j
+
1
)
|
j
m
⟩
,
J
z
|
j
m
⟩
=
m
|
j
m
⟩
,
{\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,}
де
j
=
0
,
1
/
2
,
1
,
3
/
2
,
2
,
…
{\displaystyle j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots }
і
m
=
−
j
,
−
j
+
1
,
…
,
j
{\displaystyle m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j}
. Для
S
O
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}
квантове число
j
{\displaystyle j}
є цілим.
Оператор повороту можна записати у вигляді
R
(
α
,
β
,
γ
)
=
e
−
i
γ
J
z
e
−
i
β
J
y
e
−
i
α
J
z
,
{\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},}
де
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ \gamma }
— кути Ейлера .
D
{\displaystyle D}
-матриця Вігнера є квадратною матрицею розмірності
2
j
+
1
{\displaystyle 2j+1}
із загальним елементом
D
m
′
m
j
(
α
,
β
,
γ
)
≡
⟨
j
m
′
|
R
(
α
,
β
,
γ
)
|
j
m
⟩
=
e
−
i
m
′
γ
d
m
′
m
j
(
β
)
e
−
i
m
α
.
{\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.}
Матриця з загальним елементом
d
m
′
m
j
(
β
)
=
⟨
j
m
′
|
e
−
i
β
J
y
|
j
m
⟩
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle }
відома як мала
d
{\displaystyle d}
-матриця Вігнера.
Список елементів d -матриці
ред.
для
j
=
1
/
2
{\displaystyle j=1/2}
d
1
/
2
,
1
/
2
1
/
2
=
cos
(
θ
/
2
)
{\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)}
d
1
/
2
,
−
1
/
2
1
/
2
=
−
sin
(
θ
/
2
)
{\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)}
для
j
=
1
{\displaystyle j=1}
d
1
,
1
1
=
1
+
cos
θ
2
{\displaystyle d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
d
1
,
0
1
=
−
sin
θ
2
{\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}}
d
1
,
−
1
1
=
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
d
0
,
0
1
=
cos
θ
{\displaystyle d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta }
для
j
=
3
/
2
{\displaystyle j=3/2}
d
3
/
2
,
3
/
2
3
/
2
=
1
+
cos
θ
2
cos
θ
2
{\displaystyle d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}
d
3
/
2
,
1
/
2
3
/
2
=
−
3
1
+
cos
θ
2
sin
θ
2
{\displaystyle d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}
d
3
/
2
,
−
1
/
2
3
/
2
=
3
1
−
cos
θ
2
cos
θ
2
{\displaystyle d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}
d
3
/
2
,
−
3
/
2
3
/
2
=
−
1
−
cos
θ
2
sin
θ
2
{\displaystyle d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}
d
1
/
2
,
1
/
2
3
/
2
=
3
cos
θ
−
1
2
cos
θ
2
{\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}
d
1
/
2
,
−
1
/
2
3
/
2
=
−
3
cos
θ
+
1
2
sin
θ
2
{\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}
для
j
=
2
{\displaystyle j=2}
[1]
d
2
,
2
2
=
1
4
(
1
+
cos
θ
)
2
{\displaystyle d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}}
d
2
,
1
2
=
−
1
2
sin
θ
(
1
+
cos
θ
)
{\displaystyle d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)}
d
2
,
0
2
=
3
8
sin
2
θ
{\displaystyle d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta }
d
2
,
−
1
2
=
−
1
2
sin
θ
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}
d
2
,
−
2
2
=
1
4
(
1
−
cos
θ
)
2
{\displaystyle d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}}
d
1
,
1
2
=
1
2
(
2
cos
2
θ
+
cos
θ
−
1
)
{\displaystyle d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)}
d
1
,
0
2
=
−
3
8
sin
2
θ
{\displaystyle d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta }
d
1
,
−
1
2
=
1
2
(
−
2
cos
2
θ
+
cos
θ
+
1
)
{\displaystyle d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)}
d
0
,
0
2
=
1
2
(
3
cos
2
θ
−
1
)
{\displaystyle d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}
Елементи
d
{\displaystyle d}
-матриці Вігнера із зворотними нижніми індексами знаходяться за наступним співвідношенням:
d
m
′
,
m
j
=
(
−
1
)
m
−
m
′
d
m
,
m
′
j
=
d
−
m
,
−
m
′
j
{\displaystyle d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m'}^{j}}
.
Див. також
ред.
Примітки
ред.
↑ Edén, M. (2003). Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory. Concepts Magn. Reson . 17A (1): 117—154. doi :10.1002/cmr.a.10061 .