Цілозамкнута область

В комутативній алгебрі, цілозамкнутою областю A називається область цілісності яка є рівною цілому замиканню її поля часток.

Приклади

Багато важливих областей цілісності є цілозамкнутими:

• Будь-яка область головних ідеалів (зокрема, будь-яка поле).
• Будь-яке факторіальне кільце (і, як наслідок, будь-яке кільце многочленів над факторіальним кільцем): Нехай Q — поле часток факторіального кільця A i елемент $r=a/b\in Q\;(a,b\in A)$ — цілий над A : $r^{m}+c_{1}r^{m-1}+\ldots +c_{m}=0,$ де $c_{i}\in A$. Припустимо, що a i b не мають спільних дільників (за винятком оборотних елементів). Але $a^{m}+c_{1}a^{m-1}b+\ldots +b^{m}c_{m}=0$, отже, $a^{m}$ ділиться на b, що можливо лише якщо b є оборотним. Тому, $1/b\in A$ , і звідси $r\in A$.
• Будь-яка область найбільших спільних дільників (зокрема, кільце Безу чи кільце нормування).
• Будь-яке кільце Дедекінда є цілозамкнутою областю.
• Довільна симетрична алгебра над полем (оскільки кожна симетрична алгебра є ізоморфною кільцю многочленів від кількох змінних над полем).
• Регулярні локальні кільця є цілозамкнутими.
• Приклад області цілісності, що не є цілозамкнутою: нехай k — поле і $A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]$ (A є підалгебра породжена t² і t³.) A і B мають однакове поле часток, і B є цілим замиканням кільця A (B є факторіальним кільцем) і тому, область A не є цілозамкнутою. Цей приклад пов'язаний з фактом, що плоска крива $Y^{2}=X^{3}$ має особливу точку на початку координат.

Властивості

• Нехай A — цілозамкнута область. Для довільної мультиплікативної системи $S\subset A$ локалізація $S^{-1}A$ є цілозамкнутою областю.

Ототожнимо $S^{-1}A$ з підкільцем $\{a/s|s\in S\}$ поля часток $Q$. Припустимо, що $r\in Q$ є цілим над $S^{-1}A$, тобто $r^{m}+c_{1}r^{m-1}+\ldots +c_{m}=0$ де $c_{i}=a_{i}/s$(тут $a_{i}\in A,\;s\in S;$ очевидно, для всіх $c_{i}$ можна вибрати спільний знаменник). Тоді$(sr)^{m}+a_{1}(sr)^{m-1}+sa_{2}(sr)^{m-2}+\ldots +s^{m-1}a_{m}=0,$ звідки $sr\in A$ i $r=sr/s\in S^{-1}A.$

• Для область цілісності A наступні умови є еквівалентними:

1. A є цілозамкнутою;
2. A_p (локалізація A за простим ідеалом p) є цілозамкнутою для кожного простого ідеалу p;
3. A_m є цілозамкнутою для кожного максимального ідеалу m.

Те що локалізації за максимальними і простими ідеалами є областями цілісності є наслідком попередньої властивості. Залишається лише довести, що якщо всі локалізації A за максимальними ідеалами є цілозамкнутими, то і A є цілозамкнутою.

Нехай елемент $r\in Q$ є цілим над A. Тоді він є цілим над всіма A_m для всіх максимальних ідеалів, звідки $r\in \bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}$. Тож залишається довести, що для довільної області цілісності $A=\bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}$.

Нехай $r\in \bigcap _{m\in \operatorname {Maxspec} A}A_{m}$. Покладемо $I=\{a\in A|ar\in A\}$. Ця множина є ідеалом в A і для кожного максимального ідеала m в кільці A $I\not \subset m,$ оскільки $r\in A_{m}$ може бути записаним як $r=b/a$ де $a\in A\setminus m,\;b\in A$, звідки $a\in I\setminus m$. Тому, $I=A$, отже, $1\in I$ i $r=1r\in A$.

• Натомість цілозамкнутість може не зберігатися при переході до факторкільця, наприклад кільце Z[t]/(t²+4) не є цілозамкнутим.
• Область цілісності є цілозамкнутою якщо і тільки якщо вона рівна перетину всіх кілець нормування, що містять її.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і нехай L — скінченне розширення поля Q. Тоді елемент $x\in L$ є цілим над A, якщо і тільки якщо його мінімальний многочлен над Q має коефіцієнти у полі A. Звідси випливає зокрема, що цілий елемент над цілозамкнутою областю A має мінімальний многочлен над A. Це твердження є сильнішим, ніж те, що будь-яка цілий елемент є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним 1 і може бути неправильним без вимоги цілозамкнутості (наприклад для кільця $A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}].$): Розглянемо розширення $L'\supseteq L$, таке що $\mu _{a}(x)=\prod _{i=1}^{m}(x-a_{i})$ для деяких $a_{i}\in L'$. Оскільки $\mu _{a}(x)$ є незвідним, $Q(a_{i})\equiv Q(a)$ i цей ізоморфізм є тотожним на $Q$. Отже, кожен елемент $a_{i}$ є також цілим над A. Але коефіцієнти $\mu _{a}(x)$ є многочленами від $a_{i}$ з цілими коефіцієнтами (елементарними симетричними многочленами), отже, вони також цілі над A. Оскільки A є цілозамкнутою областю, то всі ці коефіцієнти належать A.
• Для цілозамкнутої області A з полем часток Q справедливою є версія леми Гауса: нехай $f\in A[x]$ — многочлен, старший коефіцієнт якого рівний 1. Нехай також $f=gh$ де $f,g\in Q[x]$ і старший коефіцієнт $g$ рівний 1. Тоді $g\in A[x].$

Достатньо довести це твердження для незвідного g. Розглянемо будь-який його корінь a в деякому розширенні поля Q. Оскільки $f(a)=0$ , то a є цілим над A. Але $g(x)=\mu _{a}(x)$ (оскільки g є незвідним), отже, згідно попередньої властивості, $g\in A[x]$.

• Якщо A — цілозамкнута область то кільце многочленів $A[x]$ теж буде цілозамкнутою областю.

Нехай $f\in Q(x)=\operatorname {Frac} (A[x])$ є цілим елементом над $A[x]$. Тоді він очевидно є також цілим над $Q[x]$. Але $Q[x]$ є кільцем головних ідеалів і тому цілозамкнутим. Тож $f\in Q[x]$. Залишається довести, що для цілозамкнутої області $A$ кільце $A[x]$ є цілозамкнутим у $Q[x]$.

Припустимо, що $f\in Q[x]$ є цілим елементом над $A[x]$ тобто $f^{n}+a_{n-1}(x)f^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)f+a_{0}(x)=0$, для деяких $a_{i}(x)\in A[x]$. Нехай $m$— ціле число більше, ніж степінь $f$ і всі степені $a_{i}$. Позначимо $f_{1}(x)=f(x)-x^{m}$. Якщо позначити $q(t)=t^{n}+a_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)t+a_{0}(x)$, то $f_{1}$ є коренем многочлена $q_{1}(t)=q(t+t^{m})$. Зауважимо що $q_{1}(t)=t^{n}+b_{n-1}(x)t^{n-1}+\cdots +b_{1}(x)t+b_{0}(x)$ і $b_{0}(x)=q(x^{m})$ має старший коефіцієнт рівний 1. Оскільки $(-f_{1})(f_{1}^{n-1}+b_{n-1}(t)f_{1}^{n-2}+\cdots +b_{1}(x))=b_{0}(x)$ і $f_{1}$ і $b_{0}$ мають старші коефіцієнти 1, то з леми Гауса отримуємо, що коефіцієнти многочлена $f_{1}$ належать A і теж саме є правильним для многочлена $f(x)=f_{1}(x)+x^{m}$, що завершує доведення.

• Індуктивна границя цілозамкнутих областей є цілозамкнутою областю.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L є нормальним розширенням поля Q з групою Галуа G = G(L/ Q). Нехай також S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді

(i) G є групою A-автоморфізмів кільця S.

(ii) Прості ідеали P' and P'' кільця S лежать над спільним простим ідеалом P' кільця R (тобто $P'\cap A=P''\cap A=P$) тоді і тільки тоді, коли існує $\sigma \in G:\;\;\sigma (P')=P''.$

• Теорема про спуск. Нехай A — цілозамкнута область і S — область цілісності, що є цілим розширенням A. Нехай $P_{1}\supset P_{2}\supset \ldots \supset P_{n}$ — спадна послідовність простих ідеалів кільця A і P'₁ — простий ідеал кільця S, для якого $P'_{1}\cap A=P_{1}$. Тоді існує спадна послідовність $P_{1}'\supset P_{2}'\supset \ldots \supset P_{n}'$ простих ідеалів кільця S, для яких $P_{i}'\cap A=P_{i}$.
• Нехай A — цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Нехай S є цілим замиканням області A в полі L. Тоді існує базис$\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ поля L над Q, для якого $S\subset \sum _{i=1}^{n}Ae_{i}$. Якщо A є кільцем головних ідеалів, то можна вибрати такий базис щоб в цій формулі виконувалася рівність.

Нетерова цілозамкнута область

Нехай A є нетеровою областю цілісності. Тоді A є цілозамкнутою, якщо і тільки якщо виконуються умови:

• A є перетином всіх локалізацій $A_{\mathfrak {p}}$ за простими ідеалами ${\mathfrak {p}}$ висоти 1 і
• локалізації $A_{\mathfrak {p}}$ за простими ідеалами ${\mathfrak {p}}$ висоти 1 є кільцями дискретного нормування.

Для нетерової локальної області A розмірності один, тоді еквівалентними є твердження:

• A є цілозамкнутою.
• максимальний ідеал of A є головним.
• A є кільце дискретного нормування (еквівалентно A є кільцем Дедекінда.)
• A є регулярним локальним кільцем.

Нетерова область цілісності є кільцем Круля тоді і тільки тоді, коли вона є цілозамкнутою.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область з полем часток Q і L — скінченне сепарабельне розширення поля Q. Ціле замиканням області A в полі L є кільцем Нетер.

Якщо A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A, то для довільного простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ кільця A, якщо ${\mathfrak {B}}$ — мінімальний простий ідеал кільця S, що містить ${\mathfrak {p}}$ тоді ${\mathfrak {B}}\cap A={\mathfrak {p}}.$ Зокрема для цього випадку теорема спуску виконується без додаткових умов.

Нехай A — нетерова цілозамкнута область, а S — нетерова область, що є скінченним розширенням кільця A. Тоді для довільного ідеала ${\mathfrak {B}}$ кільця S виконується рівність $\operatorname {ht} ({\mathfrak {B}}\cap A)=\operatorname {ht} ({\mathfrak {B}})$, де $\operatorname {ht}$ позначає висоту ідеала.

Нормальні кільця

Нормальним кільцем називається кільце, для якого всі локалізації за простими ідеалами є цілозамкнутими областями. Таке кільце є редукованим, тобто не містить нільпотентних елементів крім 0,. Якщо A є нетеровим кільцем, для якого всі локалізації за максимальними ідеалами є областями цілісності, то A є скінченним добутком областей цілісності. Зокрема, якщо A є нетеровим нормальним кільцем, то воно є скінченним добутком цілозамкнутих областей. Навпаки, скінченний добуток цілозамкнутих областей є нормальним кільцем.

Нехай A — нетерове кільце. Критерій Серра стверджує, що A є нормальним, якщо і тільки якщо воно задовольняє такі умови: для будь-якого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$,

• (i) якщо ${\mathfrak {p}}$ має висоту $\leq 1$, то $A_{\mathfrak {p}}$ є регулярним локальним кільцем (тобто, $A_{\mathfrak {p}}$ є кільце дискретного нормування.)
• (ii) якщо ${\mathfrak {p}}$ має висоту $\geq 2$, то $A_{\mathfrak {p}}$ має глибину $\geq 2$.

Цілком цілозамкнуті області

Нехай A — область і K її поле часток. Елемент $x\in K$ називається майже цілим над A якщо підкільце A[x] кільця K породжене A і x є дробовим ідеалом кільця A; тобто, якщо існує $d\neq 0$, для якого $dx^{n}\in A$ для всіх $n\geq 0$. Область A називається цілком цілозамкнутою якщо всі майже цілі елементи поля K належать A. Цілком цілозамкнута область є цілозамкнутою. Навпаки, нетерова цілозамкнута область є цілком цілозамкнутою.

Припустимо, що область A є цілком цілозамкнутою. Тоді кільце формальних степеневих рядів $A[[X]]$ є цілком цілозамкнутим. Аналог цього твердження для цілозамкнутих областей є невірним: якщо R є кільцем нормування висоти не менше 2 (це кільце є цілозамкнутим), то $R[[X]]$ не є цілозамкнутим Нехай L — розширення поля K. Тоді ціле замикання кільця A в L є цілком цілозамкнутим.

Область цілісності є цілком цілозамкнутою, якщо і тільки якщо моноїд дивізорів A є групою.

Локалізація цілком цілозамкнутого кільця може не бути цілком цілозамкнутою.

Див. також

• Кільце нормування
• Факторіальне кільце

Література

• Дрозд, Ю. А. (2004). Вступ до алгебричної геометрії (PDF). Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN 9667493539. Архів оригіналу (PDF) за 22 травня 2011. Процитовано 14 листопада 2017. (укр.)
• Bourbaki (1972). Commutative Algebra.
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative rings. Lectures в Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative ring Theory. Cambridge Studies в Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6.
• Matsumura, Hideyuki (1970). Commutative Algebra. ISBN 0-8053-7026-9.