Цоколь (алгебра)
В абстрактній алгебрі поняття цоколя має кілька пов'язаних значень.
Цоколь модуля M над кільцем R — сума всіх його простих підмодулів. При їх відсутності цоколь вважається нульовим. Відповідно до даного визначення в кільці можна розглядати його лівий і правий цоколі. Кожен з них виявляється двостороннім ідеалом інваріантним щодо всіх ендоморфізмів кільця. Цоколь представляється у вигляді прямої суми простих модулів.
Напівпрості модулі можна охарактеризовані як модулі, що збігаються із своїм цоколем. Також цоколь можна визначити як перетин всіх суттєвих підмодулів модуля M, тобто підмодулів для яких для всіх ненульових підмодулів
В теорії груп, цоколь групи G, позначається Soc(G), підгрупа породжена мінімальними нетривіальними нормальними підгрупами G. Цоколь є прямим добутком мінімальних нормальних підгруп G. Наприклад, циклічна група породжена елементом u, має дві мінімальні нетривіальні нормальні підгрупи, одна породжена u4, інша породжена u6. Отже цоколем є група породжена u4 і u6, тобто група породжена u2.
Джерела
ред.- Socle of a module. M. Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics, Springer.
- Alperin, J.L.; Rowen B. Bell (1995). Groups and Representations. Springer-Verlag. p. 136. ISBN 0-387-94526-1.