Відкрити головне меню

Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини :

,

де  — дійсний параметр.

Якщо  — функція розподілу , то

У випадку дискретного розподілу

(ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величиниРедагувати

 .

Приклад. Нехай   має розподіл Бернуллі. Тоді

 .
 .

Приклад. Нехай   має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

 .

Властивості характеристичних функційРедагувати

Для будь-якої характеристичної функції  

 ,

Якщо   з константами   і  , то   (  — характеристична функція  ).

Якщо   є   раз диференційованою по  , то при  

 

  є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо X1, …, Xn - незалежні випадкові величини, та a1, …, an - деякі константи, тоді

 

Характеристична функція є самоспряженою:  

Випадкова величина   є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція   є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиностіРедагувати

Нехай   — функція розподілу, а   — характеристична функція випадкової величиини  . Якщо  ,   — точки неперервності  , то

 

Якщо   — неперервна, а   — густина  , то спрощується

 

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для   отримано характеристичну функцію  , то, згідно з теоремою єдиності і  

Гранична теорема для характеристичних функційРедагувати

Послідовність   функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу  , якщо у всіх точках неперервності

 

У дискретному випадку збіжність в основному   до  , означає, що відповідні функції збігаються:   для всіх  .

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо   неперервні)   для всіх  .

Якщо послідовність   функції розподілу збігається в основному до функції розподілу  , то послідовність відповідних характеристичних функцій   збігається до   — характеристичної функції  . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій   збігається до неперервної функції  , то послідовність відповідних функцій розподілу   збігається до деякої функції розподілу   і   є характеристичною функцією  ).

Твірні функціїРедагувати

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення   часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай   є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини   вказаного типу, а   — комплексний параметр. Тоді

 

називається твірною функцією випадкової величини  . Функція   — аналітична в  . Її границя при   дає характеристичну функцію  .

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величинРедагувати

Під характеристичною функцією n-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини  :

 ,

де  ,   — дійсні параметри.

Дивіться такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.