Функція витрат (мікроекономіка)

Функція витрат — у мікроекономіці (теорія споживання) — функція залежності мінімальних витрат споживача від цін на благо і необхідної (мінімальної) величини корисності або обсягу благ із заданою корисністю. Є грошовою оцінкою гіксового попиту.

Формальне визначення

Двоїста задача споживача полягає у виборі такого набору благ $h$, щоб його корисність була не меншою від заданої корисності (корисності заданого набору $x$), а сукупні витрати $ph$ були мінімальними ($p$ — вектор цін на блага). Тобто

$ph\rightarrow min,\{h\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(h)\geq u^{*}(x)\}$

Розв'язок цієї задачі — $h(p,u^{*})$ — попит Гікса.

Функцією витрат $e(p,u^{*})$ називають залежність витрат на придбання набору $h(p,u^{*})$ від $p$ і $u^{*}$, тобто:

$e(p,u^{*})=ph(p,u^{*})$

Оскільки розв'язок двоїстої задачі споживача досягається на межі допустимої множини, тобто $u(h)=u^{*}(x)$, то іноді як аргумент функції витрат використовують не значення корисності $u^{*}$, а споживчий набір $x$, корисність якого дорівнює $u^{*}$, тобто:

$e(p,x)=ph(p,u(x))$

Властивості

За деяких слабких припущень (неокласичні неперервні переваги споживача) функція витрат є неперервною функцією і за вектором $p$ — увігнутою (опуклою вгору), однорідною першого степеня і не спадною функцією. Крім того, можна показати, що, якщо набір $x$ «не гірший» від набору $y$ у сенсі нестрогого відношення переваги, то $e(p,x)\geqslant e(p,y)$.

Попит Гікса дорівнює частковіій похідній функції витрат за цінами (лема Шепарда).

Див. також

• Лема Шепарда