Функція Гевісайда

(Перенаправлено з Функція Хевісайда)

Функція Гевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатних значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Гевісайда з H(0) = ½

Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати:

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Дискретна формаРедагувати

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

 

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

 

і виконується рівність:

 

Аналітичні апроксимаціїРедагувати

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

 ,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

 

Існують і інші наближення, зокрема:

 
 

Інтегральне представленняРедагувати

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

 

H(0)Редагувати

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ або H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

 

Іноді також використовується загальний запис:

 

Первісна і похіднаРедагувати

Первісною функцією для функції Гевісайда є:   (ReLU) де за визначенням:

 

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака:  

ІсторіяРедагувати

Ця функція використовувалася ще до появи її зручного позначення. Наприклад Гульєльмо Лібрі[en] в 1830-х роках опублікував декілька робіт[1][2] присвячених функції  . На його думку,   дорівнює 0, якщо  ; 1, якщо   (див. Нуль в нульовому степені); або  , якщо  . Таким чином Лібрі робить висновок, що   дорівнює 1, якщо  , і 0 в іншому випадку. Користуючись нотацією Айверсона це можна було б записати, як

 

Однак такої нотації в той час не було, і Лібрі вважав досягненням, що цю функцію можна виразити через стандартні математичні операції. Він використовував цю функцію, для вираження абсолютної величини (позначення   тоді ще не було, воно було введене пізніше Вейєрштрассом) і індикатора таких умов як  , і навіть «  є дільником  »[3].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  2. Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
  3. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).